2.6. Методика разработки математических моделей типовых процессов в экосистемах

Экосистемы являются многомерными системами со многими входными и выходными переменными. Они могут быть описаны как черные, серые или бе­лые ящики. В зависимости от числа входных и выходных переменных разли­чают системы типа «один вход - множество выходов» (SIMO), «множество входов - множество выходов» (MIMO) и «множество входов - один выход» (MISO). В принципе нет большой разницы между математическими моделями экосистем и математическими моделями экологических процессов, которые ис­пользуются как составные части этих моделей. При этом экологические про­цессы могут быть описаны с большей или меньшей точностью. Что касается моделей экосистем, то для них требуется меньше детализации, чем для модели­рования отдельных экологических процессов.

Важная особенность моделирования экосистем состоит в том, что матема­тическое описание основных процессов, происходящих в экосистеме, основано на физических, химических, гидрологических или биологических моделях из различных естественных наук. Это является предпосылкой использования ма­тематических методов. Скорости перемещения потоков вещества и энергии оп­ределяются действующими движущими силами процессов, а интегралы по вре­мени могут рассматриваться как фазовые переменные, определяющие состоя­ние экосистемы. Во многих случаях интегралы по времени от потоков вещества и энергии представляют особый интерес.

На рис.2.4 показана упрощенная блок-схема процедуры построения дина­мической модели экосистемы, отображающей закон сохранения массы и энер­гии, в виде уравнения баланса вещества (без химических превращений). А и В являются фазовыми переменными, выраженными в единицах концентрации (мг/л) или, как в популяционных моделях, в биологических единицах (число особей/м²). Стрелками обозначены направления потоков в процессах экосисте­мы.

Динамическая модель может быть сформулирована с использованием за­кона сохранения масс следующим образом:

Накопление = вход - выход

или

process(1) + process(3) - process(2) - process(4) = process((1) +(3)) - process((2) + (4))

process(4) - process(5) - process(6) = process(4) - process((5) + (6))

Статическая модель экосистемы получается из динамической при условии Эти уравнения позволяют рассчитать фазовые переменные А и В в стационарном (статическом) пределе с учетом того, что процессы, как правило, являются некоторыми функциями параметров. Стационарные (статические) модели, конечно, не учитывают дневные и сезонные колебания переменных, но определяют статическое или усредненное поведение системы.

Далее рассмотрим математические модели типовых физических процессов в экосистемах: перенос, сорбция, тепловые процессы, испарение. Все рассмот­ренные процессы зависят от температуры, которая в ряде случаев является движущей силой процесса.

Перенос вещества отображается первым и вторым законами Фика и ши­роко используется при моделировании водных экосистем, а также при модели­ровании атмосферного переноса и переноса в почве. Процессы испарения учи­тываются главным образом в моделях загрязнения почвы и в сельскохозяйст­венных моделях.

Процессы сорбции используются для отображения процессов накопления загрязнений в донных осадках и почве и являются важной компонентой моде­лей эвтрофикации, перераспределения токсикантов и почвенных загрязнений.

Диффузия является одним из фундаментальных процессов природы и обеспечивает протекание на молекулярном уровне за большинство процессов переноса. Диффузия происходит в газах, жидкостях и твердых телах, в то время как дисперсия в основном происходит только в газах и жидкостях. Уравнение диффузии получило название первого закона Фика. Второй закон Фика описы­вает диффузию на границе двух сред.

Коэффициент молекулярной диффузии прямо пропорционален темпера­туре и обратно пропорционален молекулярному весу диффундирующего веще­ства и вязкости диффундирующей среды. Коэффициенты диффузии и диспер­сии являются характеристиками среды. Уравнение материального баланса для процессов с учетом диффузии имеет следующий вид:

где с - концентрация диффундирующей субстанции, - коэффициент молекулярной диффузии.

Используем для описания процесса диффузии на границе двух сред второй закон Фика:

Как правило, диффузия сопровождается процессом переноса диффунди­рующего вещества вместе с потоком. Это явление получило название адвекции. Для случая одновременной адвекции и диффузии эффекты этих двух процессов складываются, что приводит к следующему уравнению:

где - скорость потока. Как правило, в адвективном члене уравнения переноса учитывается лишь продольная компонента потока. Учитывая также, что попе­речная адвекция мала, ее включают в диффузионный член.

В результате уравнение переноса принимает следующий вид:

где с - усредненная концентрация, U - усредненная скорость потока, Е - коэффициент диффузии, в котором учтены эффекты турбулентно­сти. Приведенное уравнение переноса используется во многих гидродинамиче­ских моделях экосистем.

Транспортные явления межфазного переноса вещества также представля­ют значительный интерес. Процесс летучести может быть описан с помощью двух пленочной модели. Аналогичный прием используется при моделировании процессов аэрации. Традиционно поток выражается в единицах концентрации. В этих условиях учитывают только сопротивление жидкой пленки:

где С - концентрация растворенного в воде кислорода (DO), - DO концентрация при насыщении, А - площадь поверхности на границе сред, V - объем воды. Так как - глубина водоема и - дефицит растворенного кислорода, предыдущее уравнение можно представить в следующем виде:

- есть коэффициент аэрации.

Сорбция компонентов взвесями, осадками и биотой имеет важное значе­ние при моделировании экосистем. Имеющиеся данные по адсорбции должны описываться изотермами Ленгмюра или Френдлиха.

Изотерма адсорбции Ленгмюра:

Изотерма адсорбции Френдлиха: где - вес поглощенной

компоненты на один грамм сорбента, - вес растворенного вещества на один литр раствора, - численные параметры модели. В условиях малых

придонных концентраций п - близка к единице, и К - становится коэффициен­том поглощения.

Описание процессов сорбции имеет важное значение: при описании пе­реноса от распределенных источников; при описании распространения токси­кантов в водной среде; при количественном описании взаимообмена питатель­ными и токсичными компонентами примеси с водной средой; при описании процессов в почве.

Выпадение примеси в осадок часто описывается как реакция первого по­рядка:

где т - концентрация примеси, s - скорость седиментации. Осаждение примеси в виде отдельных частиц в разбавленных растворах удобно описывать законами классической механики. Седиментация описывается в виде функции как свойств примеси, так и свойств водной среды.

Скорость седиментации зависит от температуры также как в уравнениях, описывающих седиментацию под действием силы тяжести. Константы скорости химических реакций также зависят от температуры.

Интенсивность испарения с поверхности воды зависит от климатических условий. Соответствующие таблицы можно найти в литературе. Наличие рас­тительности уменьшает скорость испарения.

Кратко изложим методику моделирования химических процессов в экоси­стемах.

Следует отметить, что характерные реальные времена некоторых химиче­ских процессов оказываются много меньше временных шагов при компьютер­ном моделировании экосистем. Для таких процессов в экологических моделях следует использовать установившиеся стационарные пределы. Химическая ре­акция может быть описана дифференциальным уравнением n-го порядка, где величина п определяется видом химической реакции. Порядок химической ре­акции определяется как сумма показателей в членах уравнения химической ре­акции. При этом многие химические реакции могут рассматриваться как реак­ции первого порядка, что широко используется при моделировании экологиче­ских систем. При составлении математических моделей химических процессов особое внимание необходимо уделять уравнениям химической кинетики.

Реакция окисления органики и в некоторых случаях, неорганики является весьма важной для некоторых экологических процессов. В большинстве случа­ев уравнение первого порядка представляет достаточно адекватную модель процесса. Фотохимические реакции (фотолиз) являются весьма важными для моделирования многих токсикантов. Эти реакции могут быть описаны уравне­ниями первого порядка.

Гидролиз органических соединений приводит к образованию ОН-групп. Скорость этой химической реакции зависит как от температуры, так и от вели­чины рН.

Ионизация, комплексирование и осаждение являются достаточно быст­рыми процессами и, поэтому могут быть включены в модель в виде стационар­ных установившихся пределов. Тяжелые металлы являются мало растворимы­ми благодаря образованию гидратов и сульфидов, которые быстро выпадают в осадок. Несмотря на то, что многие процессы оседания могут быть описаны своими стационарными пределами, оседание взвешенных частиц всегда описы­вается дифференциальными уравнениями первого порядка.

Кратко рассмотрим методику моделирования биологических процессов.

Фотосинтез - это окислительно-восстановительная реакция синтеза орга­нических веществ с помощью световой энергии, которая состоит из двух эта­пов: первый - поглощение света и накопление энергии и второй - связывание диоксида углерода. В результате первого этапа фотосинтеза образуются энерге­тически насыщенное соединение: ATP (Adenosine triphosphate /АТФ - Аденозинтрифосфорная кислота /). АТР - это нуклеотид, который играет исключи­тельно важную роль в обмене энергии и веществ в организмах. В первую оче­редь АТР известно как универсальный источник энергии для всех биохимиче­ских процессов, протекающих в живых системах.

Поглощение солнечных фотонов вызывает переход электронов хлорофил­ла на более высокие энергетические уровни. При этом избыточная энергия расходуется во время циклических или простых реакций фосфорилирования. На втором этапе фотосинтеза энергетически насыщенное соединение АТР исполь­зуется для связывания диоксида углерода и накопления органического углеро­да. Процесс фотосинтеза имеет два внешних лимитирующих фактора: энергию и неорганическое вещество. От этих двух факторов зависит скорость фотосин­тетических процессов. Реакция фотосинтеза зависит от этих лимитирующих факторов при условии, что транспортные механизмы справляются со своей за­дачей. При этом биологическим видам требуется время для адаптации к изме­нениям внешней среды.

Простейшее математическое описание фотосинтеза обычно включает по­глощение света и реакции последующих химических превращений. При отсут­ствии химических превращений фотосинтез может быть описан следующим уравнением:

PHOTO = k·f(максимальная потребность органических факторов),

где PHOTO - описывает поглощение диоксида углерода, накопление рас­творенного кислорода и увеличение количества органического вещества и энергии, f (···) - описывает оптимальные количества внешних и внутренних химических элементов, k - коэффициент пропорциональности. Вопрос об ис­пользовании уравнений фотосинтеза в моделях экологических процессов обу­словлен смыслом конкретной решаемой задачи. В моделях водных экосистем в уравнениях широко используются понятия средней биомассы отдельного вида или нескольких видов.

В экосистемах Земли, в которых количество видов мало, удобно использо­вать отдельные уравнения для каждого вида. При этом количество внешних факторов, от которых зависит фотосинтез, достаточно велико. Наиболее важ­ными из этих факторов являются количество прямой солнечной и рассеянной радиации, влажность, воздействие ветра, инфракрасное излучение и длина све­тового дня.

Микробиологические процессы редко подробно описываются при эколо­гическом моделировании, что обусловлено сложным характером этих процес­сов. В экологических моделях микробиологические процессы описываются уравнениями первого порядка, причем константа скорости реакции зависит от температуры. В задачах деструкции следует учитывать возраст биомассы. В природной среде процесс разложения органического вещества играет ведущую роль в формировании биогеохимических циклов. Процессы разложения связа­ны с процессами производства биомассы и описываются простыми уравнения­ми баланса вещества. Этот баланс достаточно чувствителен к внешним факто­рам. Антропогенные воздействия приводят к возрастанию потоков органиче­ских и питательных веществ в среду, что нарушает хрупкий баланс между про­цессами разложения и процессами производства биомассы. В большинстве слу­чаев основная работа по разложению органики приходится на долю бактерий и грибков. Однако в ряде экосистем в цепочку деструкции входят также и неко­торые позвоночные.