2.8. Методика разработки математических моделей процессов эвтрофикации вод

Эвтрофикация (эвтрофирование) вод - это процесс повышения биологиче­ской продуктивности водных объектов в результате накопления в воде биоген­ных элементов под действием антропогенных или природных факторов. Про­цесс эвтрофикации стимулируется восстановлением питательных веществ в во­де из донных отложений. Результатом образования метана вследствие разложе­ния органических остатков в донных отложениях является увеличение азота и фосфора.

Параметризация процесса эвтрофикации. Температура воды является од­ним из важных критических параметров модели. В связи с этим большое значе­ние имеет исследование корреляционной связи между температурой воды и концентрацией фосфатов. Одним из современных методов исследования корре­ляционных связей является метод вейвлет-анализа.

Вейвлет преобразование - это двухмерная развертка одномерных сигна­лов, при которой исходный одномерный сигнал, представленный в координатах (х,у), преобразуется в двухмерный сигнал, представленный в координатах (a,b,z), где а,b - параметры вейвлет преобразования. Результат вейвлет преоб­разований получил название вейвлет-спектров.

Вейвлет декомпозиция - это разложение исходного сигнала с помощью вейвлет преобразования на низкочастотную и высокочастотные составляющие.

Термин «вейвлеты» - «маленькие волны» был введен Морле, французским геофизиком в конце восьмидесятых годов. Сейсмические данные, которые он изучал, отличались резкими изменениями частотного спектра, что не позволяло эффективно использовать методы Фурье-анализа. Для разрешения возникшей проблемы Морле предложил использовать для анализа данных разработанные им компактные, т.е. отличные от нуля на небольших участках функции в час­тотной и временной областях, которые он назвал вейвлетами. Различают непре­рывные и дискретные вейвлет-преобразования. При использовании непрерыв­ного преобразования одномерные и двухмерные сигналы исследуются с помо­щью непрерывного семейства вейвлет-функций следующего вида:

где - компактная вейвлет-функция, а, b - параметры вейвлет-преобразования, первый является аналогом периода, а второй описывает сме­щение вейвлета вдоль сигнала. Таким образом, сигнал может компактно иссле­доваться по всей своей длине с помощью перемещающегося вдоль него вейвле­та. Классическим примером вейвлета является вейвлет под названием «Сом­бреро». Уравнение этого вейвлета имеет следующий вид:

а его изображение представлено на рис.2.7.

Для получения вейвлет-преобразований двумерных сигналов используют метод «скользящего окна», при котором рассчитывают коэффициенты корреля­ции между сигналом и различными двумерными вейвлетами. В результате та­кого преобразования проявляется скрытая квази-периодичность (текстура) ис­ходного двумерного сигнала. В ряде случаев текстура, проявившаяся на вейвлет-спектрах, является следствием скрытого самоподобия, которое может быть обусловлено фрактальными свойствами экологических сигналов.

Непрерывное вейвлет-преобразование одномерного сигнала f(t) может быть рассчитано по следующей формуле:

где символ * - обозначает операцию комплексного сопряжения.

В случае, когда параметры а и b принимают дискретные значения получают дискретное вейвлет-преобразование. Для двумерных сигналов вейвлет-преобразования получают в виде комбинаций одномерных преобразо­ваний по выбранным направлениям. Обычно используют горизонтальное, вер­тикальное и диагональное направления. Формулы для получения дискретных вейвлет-преобразований имеют следующий вид:

где * - обозначает оператор свертки, - операторы вейвлет-преобразований, выделяющие низкие частоты (аппроксимации), - операторы вейвлет-преобразований, выделяющие высокие частоты (детализации), А - низкочастотная компонента (аппроксимация), - высокочастотные компоненты (детализации) в вертикальном, горизонтальном и диагональном направ­лениях соответственно.

На рис.2.8 представлены графики двух экологических сигналов: темпера­туры воды и концентрации фосфатов.

Для исследования процессов восстановления фосфора из донных отложе­ний в водной экосистеме были изучены временные ряды температуры и кон­центрации фосфора, полученные из двух различных пунктов отбора проб. На рис.2.9 представлены временные ряды концентрации фосфатов в двух пунктах отбора проб в водных экосистемах Германии.

Концентрация фосфатов в первом пункте гораздо больше, чем во втором, что объясняется более длительным по времени действием процесса восстанов­ления фосфора в этом пункте.

Для неглубоких озер этот эффект хорошо описан в литературе. Уменьше­ние температуры воды приводит к интенсификации процессов восстановления фосфора из донных отложений. Характер и интенсивность процессов накопле­ния и восстановления фосфора напрямую зависит от градиентов температуры. Результаты изучения градиентов температуры позволяют выделить четыре фа­зы протекания процессов накопления и восстановления фосфора (см. рис.2.10).

Результаты исследований показали, что процессы накопления и восстанов­ления фосфора в основном зависят от градиентов, а не от температуры. Процесс восстановления происходит только тогда, когда вторая производная температу­ры воды отрицательна (см. табл.2.2).

Таблица 2.2. Фазы температурной зависимости процессов восстановления фосфора из донных отложений

Для моделирования процессов эвтрофикации была разработана стационар­ная одномерная модель. Блок-схема модели приведена на рис.2.11. Система управления математической модели состоит из пяти дифференциальных урав­нений, включая константы и параметры моделирования. Модель восстановле­ния фосфора входит составной частью в общую модель материального баланса. При этом временная зависимость параметров модели задается с помощью сину­соиды. Стационарные состояния системы описываются следующими перемен­ными: концентрацией фито и зоопланктона, концентрациями ортофосфата фосфора, аммонийного азота, нитратного азота и восстановленного из донных отложений фосфора.

Внешними параметрами модели являются: FOTOP - световой период; I - солнечная радиация; TEMP - температура воды.

Для моделирования использованы следующие уравнения: Уравнение для биомассы фитопланктона A (mg СНА/I):

Уравнение для фосфора Р (mg P/I):

Уравнение для аммонийного азота NH4 - N(mg N/I);

Уравнение для нитратного азота NO3 - N (mg N/I):

Уравнение фильтрации зоопланктона Z (mg C/I):

Результаты компьютерного моделирования представлены на рис.2.12. Большие значения биопродуктивности летом и осенью объясняются насыщен­ностью воды в этот период питательными веществами.

В первые пять месяцев наблюдается увеличение концентрации диатомо­вых водорослей, в то время как летом и осенью доминируют зеленые и сине-зеленые водоросли. В конце лета рост водорослей прекращается. Это приводит к аноксическим условиям на границе донных отложений вследствие больших скоростей разложения донной органики и больших скоростей потребления ки­слорода. При этих условиях процесс восстановления фосфора возобновляется.

Данная компьютерная модель была использована также для моделирова­ния динамики питательных веществ в бассейне реки. Моделирование проводи­лось для двух различных пунктов: Hv0170 и Hv0190. Как следует из рис.2.13, на динамику фосфора влияют два разных процесса: уменьшение концентрации фосфора вследствие поглощения фитопланктона весной диатомовыми водорос­лями и его увеличение осенью вследствие восстановления из донных отложе­ний.

В противоположность этому небольшое уменьшение концентрации нит­ратного азота наблюдается с начала года вплоть до конца июля (см. рис.2.14). Увеличение биомассы сине-зеленых водорослей вызывает резкое уменьшение концентрации азота почти до нуля. К концу лета концентрация нитратов дости­гает первоначальных значений. Этот эффект объясняется поступлением аммо­нийного азота со сточными водами и переработкой бактериями аммиака в нит­раты, а также переносом загрязнений в бассейне реки.

Рассмотрим компьютерное моделирование задач управления качеством воды. Для целей управления качеством воды в реке модель процессов эвтрофикации была дополнена модулем оптимизации. Были рассмотрены две стратегии управления. Первая основана на концепции лимита питательных веществ. Вто­рая использует целевую функцию, разработанную рабочей группой LAWA. Ре­зультаты моделирования представлены на рис.2.15 и рис.2.16.

Результаты математического моделирования качества воды показывают, что стратегия группы LAWA приводит к значительному снижению концентра­ции питательных веществ и к небольшому увеличению биомассы фитопланк­тона. В противоположность этому влияние на процесс эвтрофикации лимити­рования приводит к увеличению концентрации питательных веществ и сниже­нию концентрации фитопланктона.