3. Методы определения свойств объекта

Динамические свойства объекта полностью описываются системой дифференциальных уравнений. Математический аппарат преобразования Лапласа связывает систему дифференциальных уравнений с другими способами описания динамики объекта - переходной функцией и частотной характеристикой. Причем, переходную функцию и частотную характеристику можно снять экспериментально. Таким образом, возможны два метода определения свойств объекта - аналитический, через систему дифференциальных уравнений и экспериментальный, путем снятия переходных функций и частотных характеристик.

3.1. Аналитическое описание объекта

Процесс составления системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта, сводится к следующему. Находят уравнение материального или энергетического баланса объекта, выявляя кинетические закономерности, гидродинамические условия и т.д. Далее, от абсолютных значений входных и выходных величин переходят к приращениям в безразмерном виде. Полученные уравнения приводят к каноническому виду.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.[11] Составить математическое описание смесителя постоянного объема V, обеспечивающего идеальное перемешивание жидкости (рис.6).

Рис.6

В смеситель подаются жидкости, расходы и концентрация которых соответственно равны F₁, Q₁ и F₂, Q₂. Выходной величиной смесителя является состав жидкости Q, а входные переменные величины F₁ и F₂, a также концентрация Q₁. Причем, Q₁ > Q > Q₂.

Для нахождения уравнений динамики смесителя составим полный материальный баланс за промежуток времени dt.

.	(3)
,	(4)

где F - расход жидкости на выходе из смесителя.

Или,

(5)

Данное уравнение нелинейное, т.к. три его слагаемых представляют собой произведение переменных величин. Линеаризуем его, заменив каждую переменную на сумму базисного значения и приращения. Получим:

(6)

Уравнение смесителя при равновесии имеет вид:

(7)

Вычтем почленно из (6) (7), одновременно учитывая, что F₁₀ + F₂₀ = F₀ и найдем уравнение смесителя в приращениях.

(8)

Подставляя относительные величины

.

Получим:

(9)

Разделив все на F₀Q₀ , получим:

,

(10)

где - постоянная времен и объекта,

- коэффициенты усиления по каналам,

Используя прямое преобразование Лапласа, запишем уравнение в операторной форме:

(11)

Передаточные функции по каналам:

Уравнению (3) соответствует структурная схема:

Рис.7

Пример 2.[18] Составить дифференциальное уравнение системы, образованной двумя баками (рис.8), приняв в качестве входной величины изменение расхода жидкости на притоке Q₁, а выходной - изменение уровня h₂ во втором по ходу жидкости баке.

Рис.8

Площади поперечного сечения баков S₁ и S₂.

Допустим, что при малых отклонениях от исходного состояния равновесия расход Q₂ между баками пропорционален разности уровней h₁ и h₂, а расход О₃ не зависит от уровня h₂. Из условия материального баланса для баков получим:

(12)

Учитывая, что получим

(13)

Продифференцируем по времени второе уравнение, учитывая, что Q₃ = const

(14)

Определив из (13)

и подставив в (14), получим:

или

.

(15)

Пример З. Теплообменник смешения (рис. 9).

Рис.9

В теплообменнике регулируется температура паров продукта изменением количества холодной жидкости, подаваемой в теплообменник.

Обозначим:

Qs – количество тепла, поступающего в теплообменник с парами, ккал/мин;

Qx – количество тепла, поступающего в теплообменник с холодной жидкостью, ккал/мин;

Qa – количество тепла, уходящего из теплообменника с парами, ккал/мин;

Θ – температура паров на выходе из теплообменника в °С;

Gп – весовое количество паров, проходящих через теплообменник в кг/мин;

G – весовое количество паров, содержащихся в теплообменнике в кг.

В стационарном состоянии приток и расход тепла равны и температура остается постоянной. В случае изменения какого - либо количества тепла или одновременно всех количеств температура будет изменяться

,

(16)

где А - тепловая емкость объекта в ккал /°С.

Положим, количество паров Gп, поступающих в теплообменник, и их температура остаются постоянными, т.е. Qs = 0, изменяется лишь количество тепла Qx, поступающего в теплообменник с холодной жидкостью. Тогда

.

(17)

Количество тепла, уходящего из теплообменника с парами, пропорционально количеству и их температуре, т.е.

,

где С – удельная теплоемкость в ккал/кг∙°С,

ΔΘ – отклонение температуры.

Тогда

.

(18)