5. Оптимальная настройка регуляторов

5.1. Критерии оптимальной настройки регулятор

Система автоматического регулирования должна удовлетворять двум основным требованиям [14]:

1. Система должна обладать достаточным запасом устойчивости.

2. В пределах запаса устойчивости не менее заданного, качество регулирования должно быть наилучшим в сформулированном смысле.

В соответствии с этим расчет оптимальной настройки регулятора состоит из определения в пространстве параметров настроек области, в которой система обладает необходимым запасом устойчивости и нахождения в этой области точки, обеспечивающей наилучшее качество регулирования.

Запас устойчивости системы может быть оценен величиной m (степень колебательности) или величиной М (показатель колебательности), которые характеризуют затухание колебательной составляющей переходного процесса и связаны однозначной зависимостью со степенью затухания Ψ:

(66)

где A₁ и А₃ – первая и третья амплитуды колебания.

Устойчивость системы автоматического регулирования полностью определяется расположением корней характеристического уравнения. Расположение же корней на комплексной плоскости можно характеризовать двумя величинами: расстоянием α наименьшего корня от мнимой оси и углом β, в который вписываются наиболее удаленные от вещественной оси комплексные корни (рис.18).

Рис.18

Величина α характеризует степень устойчивости. Чем больше α, тем быстрее затухает процесс. Величина β (или γ) характеризует колебательность системы. Чем больше β, тем больше система склонна к колебаниям. Величина m определяется как

.

(67)

Величина М определяется расстоянием максимума АЧХ замкнутой системы от критической точки (-1; j0) и определяется по формуле:

(68)

где ω_с – частота среза,

ωрез – частота, на которой АЧХ замкнутой САР максимальна.

В табл. 1 приведены некоторые соответствующие значения параметров Ψ, m и М для САР, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Таблица 1.

Ψ	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95
m	0.167	0.192	0.221	0.262	0.318	0.366	0.398
М	3.09	2.7	2.38	2.09	1.8	1.55	1.29

Учитывая сказанное выше, для обеспечения заданного времени затухания процесса регулирования и заданной колебательности необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения были расположены внутри заштрихованной области.

Существуют два основных способа расчета оптимальных настроек регулятора, в зависимости от того, какой параметр запаса устойчивости задан: m или М. Если задана степень колебательности т, то расчет ведется методом расширенных амплитудно - частотных характеристик. Если задан показатель колебательности М, то расчет ведется по максимуму АЧХ замкнутой системы.

5.2. Расчет запаса устойчивости методом расширенных амплитудно - частотных характеристик

Расчет системы на заданную степень колебательности производится по расширенным АФХ. [1, 17]. Расширенные АФХ W(m, jω) получаются подстановкой в выражение для передаточной функции W(p) .

Согласно обобщенному критерию Найквиста - Михайлова, переходный процесс в системе не будет содержать составляющих со степенью затухания менее заданной, если обеспечивается условие:

(69)

где Wо(m, jω) и Wp(m, jω) - расширенные АФХ объекта и регулятора.

Это уравнение является исходным при расчете границы запаса устойчивости в пространстве параметров настройки регулятора.

5.2.1. П, И, ПИ - законы регулирования

Для ПИ - регулятора расширенная АФХ имеет вид

(70)

Подставив это выражение в (69), разделив мнимую и вещественную части и решив относительно параметров Кр/Ти, Кр, получим в общем виде:

	(71)
	(72)

где Ао (m, ω) - расширенная АЧХ объекта,

Fo (m, ω) - расширенная ФЧХ объекта.

Затем строим кривую в плоскости параметров Кр/Ти, Кр.

Рис.19

Область ограниченная этой кривой и прямыми Кр = 0, Кр/Ти = 0, является областью заданного запаса устойчивости. При m = 0 кривая ограничивает область устойчивости системы.

П и И - регуляторы являются частным случаем ПИ - регулятора. Для П - регулятора это точка 2, ω = ω₂. Для И - регулятора - точка 1, ω = ω₁ (рис. 19).

5.2.2. ПИД - закон регулирования

Расширенная АФХ для ПИД - регулятора имеет вид:

(73)

Уравнение для параметров настройки запишутся в виде:

	(74)

Состояние системы с ПИД - регулятором определяется тремя варьируемыми переменными: Кр, Кр/Ти, Кд∙Тд и граница заданного запаса устойчивости в общем случае изображается поверхностью в 3-х мерном пространстве. В практических расчетах строят семейство кривых равного затухания в координатах { Кр/Ти, Кр } при различных Кд∙Тд. Для каждого случая определяют оптимальные параметры и выбирают наилучшие в результате анализа качества полученных переходных процессов.

5.2.3. Расчет оптимальной настройки

После того как определена область заданного запаса устойчивости, нужно определить в этой области параметры регулятора, которые обеспечат наилучшие качественные показатели, т.е. оптимальные настроечные параметры.

Качество процессов автоматического регулирования оценивается переходными процессами при ступенчатом воздействии на входе. По переходным функциям (рис.20) можно получить основные показатели качества регулирования.

Рис.20

К основным параметрам качества относятся:

- статическая ошибка Yст, как остаточное отклонение регулируемого от заданного значения Y₀.

- перерегулирование, представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от заданного значения

Иногда перерегулирование задается в %, .

• время регулирования tp, определяет быстродействие системы и равно времени, в течение которого отклонение регулируемого параметра от заданного значения сделается меньше определенной величины ΔY. Иногда задается отклонение в пределах ± 5% Y₀.

• степень затухания переходного процесса - отношение разности двух соседних амплитуд одного значения к большей из них.

Оптимальные настройки регулятора обеспечивают:

• интенсивное затухание переходного процесса;

• наименьшее отклонение процесса от заданного уровня;

• минимальную продолжительность регулирования.

Эти требования тем лучше удовлетворяются, чем меньше площадь, ограниченная кривой переходного процесса (рис. 20, б). Отсюда вытекает интегральный критерий оптимальности настройки регулятора для апериодических или слабоколебательных процессов[14].

(75)

Для колебательных процессов используется в качестве оценки

(76)

Известная формула преобразования Лапласа связывает функцию времени Y(t) и ее изображение Y(p):

(77)

Отсюда следует другое известное соотношение:

.

(78)

При скачкообразном воздействии на систему:

.

(79)

Передаточная функция одноконтурной системы регулирования относительно возмущения х( t) определяется выражением:

(80)

Тогда, согласно (78), (79)

(81)

Для различных типов регуляторов, с учетом выражений для их передаточных (58), (60), (62) можно получить:

для систем с И – регулятором

(82)

для систем с ПИ и ПИД регуляторами

(83)

где Kf и Кμ - коэффициенты передачи объекта по соответствующим каналам.

Из последних формул следует, что для минимизации линейного интегрального критерия следует стремиться к возможно большему значению коэффициента передач И - регулятора или к возможно большему отношению Кп/Ти для ПИ и ПИД – регуляторов

(84)

При вычислении линейного интегрального критерия для систем с П-регулятором, прежде чем совершать предельный переход (84) следует из изображения переходной характеристики вычесть изображение ее установившегося значения Yуст/р, где

(85)

Отсюда следует, что для минимизации остаточной неравномерности следует установить возможно большее значение коэффициента передачи регулятора. Важным положительным свойством линейного интегрального критерия является его инвариантность относительно выбора возмущений, по каналам действия которых минимизируется критерий. Иначе говоря, выполнение условий (84) гарантирует минимизацию критерия относительно всех действующих на объект возмущений, как контролируемых, так и неконтролируемых.

На практике для ПИ - регулятора оптимальную точку настройки берут несколько правее точки, соответствующей максимуму Кр/Ти (рис.19). Примерно можно считать, что ω_р = 1.2ω₀, где ω_р - частота регулирования, а ω₀ - частота соответствующая максимальному значению настройки регулятора. Для ПИД - регулятора стремятся иметь максимальное отношение Кр/Ти при отношении времени предварения к времени изодрома близкое к Тд/Ти = 0.5.

Приближенные оценки оптимальных параметров настроек регуляторов даны в [2, 19].

При использовании квадратичного интегрального критерия (76) условие его минимизации записывается в виде [14]:

(86)

Интегральный квадратичный критерий не инвариантен относительно возмущений, действующих по различным каналам. Поэтому может сказаться, что параметры настройки, минимизирующие этот критерий при действии одного возмущения, не будут оптимальны по отношению к другим возмущениям.

Приближенные оценки оптимальных параметров настроек регуляторов даны в [2, 21].

5.3. Расчет запаса устойчивости по величине максимума АЧХ замкнутой системы

Запас устойчивости системы характеризуется степенью удаления АЧХ от точки {-1, j0} и измеряется двумя параметрами: запасом устойчивости по модулю (С) и запасом устойчивости по фазе (γ) (рис.21).

Степень удаления АФХ разомкнутой системы от точки {-1, j0} может быть определена по величине максимума АЧХ замкнутой системы [14]. Чем больший максимум имеет АЧХ замкнутой системы, тем ближе АФХ разомкнутой системы к точке {-1, j0} и, следовательно, тем меньший запас устойчивости имеет система.

На рис.22. 1 - АЧХ системы с неколебательными переходом процессом, 2 - с колебательным переходным процессом, 3 - на границе устойчивости. Колебательность М = Аmax/А₀, или (68). Кривая, удовлетворяющая условию М = const является окружностью с радиусом , а центр находится на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии от начала координат (рис.23).

Эти окружности удовлетворяют свойствам:

• угол наклона между касательной, проведенной из начала координат к М - окружности и отрицательной действительной полуосью равен

• перпендикуляр из точки касания Р касательной и М - окружности к действительной оси пересекает ее отрицательную ветвь в точке {-1}.

На основании этих свойств М - окружностей для выбора параметров разомкнутой САР, обеспечивающих заданное значение максимума АЧХ замкнутой САР относительно управляющего воздействия, выполняют следующее:

• строят в комплексной плоскости АФХ разомкнутой системы (обычно для Кр = 1).

• проводят луч ОЕ из начала координат плоскости W(jω) под углом к отрицательной действительной полуоси.

• подбирают окружность с центром на отрицательной ветви действительной оси, касающуюся одновременно АФХ разомкнутой системы и луча ОЕ.

• Проводят перпендикуляр к действительной оси из точки касания найденной окружности и луча ОЕ и определяют координату точки пересечения перпендикуляром действительной оси: {-А}.

• рассчитывают по соотношению I = 1/А, во сколько раз нужно изменить масштаб построения, чтобы выполнить условие . На практике проводят расчет из условия обеспечения величины 2,38 > М > 1,55, что соответствует в системе второго порядка 0,221 < m < 0,368 (0,75 <у< 0,9).

Рассмотрим особенности построения АФХ систем с регуляторами различных типов.

5.3.1. АФХ системы с П – регулятором

(87)

Каждый вектор АФХ, не меняя своего направления, увеличивается в Кр раз (рис.24). Устойчивость ухудшается, т.к. кривая приближается к точке {-1, j0}.

Рис.24

5.3.2. АФХ системы с И – регулятором.

(88)

Отсюда следует, что для построения W(jω) требуется изменить длину векторов W(jω) в Кр/ω раз и повернуть их по часовой стрелке на угол 90°. Соединяя концы этих векторов кривой, получим график W(jω) (рис. 25).

Рис.25

И - регулятор может устойчиво регулировать только объекты с самовыравниванием. АФХ объектов без самовыравнивания с И - регулятором всегда охватывает точку {-1, j0}.

5.3.3. АФХ системы с ПИ – регулятором

(89)

при Кр = 1.

Для получения АФХ разомкнутой системы с ПИ - регулятором при Кр = 1 и некотором Ти следует к каждому вектору характеристики объекта добавить вектор длиной ΔА = А₀/(ωТи ), повернутый на 90° по часовой стрелке (рис. 26, а).

Критическая величина Кр.кр для выбранного Ти равна обратной величине отрезка, отсекаемого характеристикой W(jω) на отрицательной вещественной полуоси (рис. 26, а).

Производя построение для различных времен изодрома Ти по изложенной методике и определив соответствующие им Кр.кр можно в плоскости параметров настроек Кр - Ти построить границу области устойчивости и определить оптимальное значение Ти (рис. 26, б).

Рис.26

5.3.4. АФХ системы с ПИД - регулятором.

(91)

при Кр = 1.

(92)

АФХ разомкнутой системы с ПИД - регулятором строятся также, как и АФХ для ПИ - регулятора. Строго говоря, необходимо строить семейство кривых при различных отношениях Тд/Ти. Однако учитывая, что оптимальным соотношением для ПИД - регулятора является Тд/Ти = 0.5, достаточно построить семейство АФХ при этом значении. Необходимо также учесть, что добавочные векторы поворачиваются на 90° по часовой стрелке до частоты ω₀, определяемой из условия . При больших частотах знак фазового сдвига меняется, т.е. добавочный вектор поворачивается против часовой стрелки. На частоте ω = ω₀ , введение дифференцирующего звена в закон регулирования приводит к уменьшению фазовых сдвигов, что повышает устойчивость системы. Необходимо также учитывать, что к АФХ системы с ПИД - регулятором можно провести две касательные окружности в области высших и низших частот.

Рис.27

5.3.5. Пример расчета настройки ПИ – регулятора.

Определить параметры оптимальной настройки ПИ - регулятора температуры электропечи, обеспечивающие при запасе устойчивости М = 1.62 минимальное значение линейного интегрального критерия J.

Динамические свойства объекта по каналу регулирующего воздействия заданы вещественной и мнимой частями АФХ (табл. 2) при Ко = 84мВ, АФХ системы с ПИ - регулятором определяется уравнением

(93)

или при Кр = 1

(94)

По изложенной выше методике строим АФХ разомкнутой системы для Кр=1 и Ти=1,1.5,2,3 мин. и выполняем все дополнительные построения (рис.28).

Рис.28

В результате построений получаем:

А =10.4	Ти = 3 мин
А =12.9	Ти = 2 мин
А =14.6	Ти = 1.5 мин

отсюда

Таблица 2.

ω, 1/мин	R(ω), мВ	J(ω)		ω, 1/мин	R(ω), мВ	J(ω)
0.25	42.4	-43.2		1.5	-6.6	-8.8
0.4	18.4	-32		2.0	-6.2	-5
0.75	0	-21.2		2.62	-5.1	-2.4
1.0	-4.2	-15.6		5.2	-2.08	0

Кроме того,

По этим данным строим кривую в плоскости параметров настройки регулятора (рис.28, б). Минимуму линейного интегрального критерия отвечает условие (Кр/Ти)мах. Таким образом, оптимальные настройки определяется значениями

5.3.6. Расчет настройки реальных ПИД - регуляторов

Часто в регуляторах используют реальное дифференцирование, и передаточная функция ПИД - регулятора имеет вид:

(95)

где Тд=Кф∙Тф, Кф и Тф - коэффициент передачи и постоянная времени сглаживающего фильтра реального дифференциатора. Такую передаточную функцию имеет, например, регулирующий микроконтроллер ПРОТАР. Разница между идеальным (62) и реальным регуляторами уменьшается с уменьшением Тф и увеличением Кф. Однако из-за действия помех, квантование сигнала по уровню в цифровых регуляторах и т.п. величину Кф на практике приходится выбирать относительно небольшой (обычно не более 5 - 8). При этом расчет настройки по идеальной передаточной функции может иметь значительную погрешность.

Преобразуем Wp.p( p ) следующим образом:

(96)

где , , .

(97)

- передаточная функция сглаживающего фильтра.

Передаточная функция реального ПИД - регулятора (95) может быть представлена в виде произведения передаточной функции эквивалентного идеализированного ПИД - регулятора на передаточную функцию сглаживающего фильтра.

Расчет оптимальных параметров настройки эквивалентного идеализированного регулятора при заданной Тф может производиться вышеприведенным способом по передаточной функции эквивалентного объекта Wo(р) Wф(р) [15]. Переход от полученных таким образом оптимальных параметров Кр.э, Ти.э, Тд.э к параметрам реального регулятора осуществляется по формулам, вытекающим из (97).

, , .

Получаемые по этим формулам параметры будут положительными, если выполняются условия:

, .

(98)

На практике чаще задается не значение величины Тф, а значение Кф. В этом случае решение находится методом последовательных приближений.

Задавшись начальным значением Тф(0) = 0 по АФХ объекта Wo(jω) производят расчет оптимальных параметров идеализированного регулятора. Эти параметры могут считаться начальным приближением и оптимальными параметрами идеализированного эквивалентного регулятора Кр.э(0), Ти.э(0), Тд.э(0) в итерационной процедуре поиска оптимальных настроек реального регулятора. На каждом к-ом шаге (к=1, 2, 3…) выполняются следующие расчеты:

- определяется величина постоянной времени

;

- по АФХ эквивалентного объекта

определяются параметры идеализированного эквивалентного регулятора Кр.э(к), Ти.э(к), Тд.э(к);

• по формулам (97) находятся параметры настройки реального регулятора:

(99)

Проверяется, соответствует ли полученная величина отношения Тд(k)/Тф(k) ее заданному значению Кф. Если соответствует, производится расчет оптимального коэффициента передачи реального регулятора

и итерационная процедура оканчивается; в противном случае повторяется расчет по формулам (97) - (99) при увеличении на единицу значения k.

5.4. Расчет настройки регуляторов в режиме диалога

Изложенную выше процедуру расчета оптимальных параметров настроек можно запрограммировать и вычислять на ЭВМ. В [13] предложена методика расчета ПИД - регулятора в диалоговом режиме. Обычно при построении АФХ разомкнутой системы управления W(jω) с ПИД - регулятором фиксируется Тд или Тд/Ти. В диалоговом режиме более удобно фиксировать частоту ω_k, при которой W°(jω), соответствующая единственному Кп, пересекается с АФХ объекта Wo(jω), т.е. выполняется условие:

.

(100)

Соответственно, задавая одну из постоянных времени, например Ти, вторую определим по формуле

.

(101)

Вид полученного при этом «пучка» АФХ W°(jω) изображен на рис.29.

Рис.29

Изменяя ω_k и Ти, подбирая Ки на основании условия М<Мдоп (Мдоп - допустимое значение М), можно построить границу области требуемого запаса устойчивости, а затем в пределах этой области найти точку, удовлетворяющую критерию (84).

Поиск частоты , соответствующий «пучку» АФХ, среди которых находится оптимальная АФХ, нужно вести в небольшом диапазоне вокруг частоты ω_γ, при которой происходит пересечение АФХ с лучом ОЕ. Частоту ω_γ можно найти из условия

(102)

где φ₀(ω_γ) - фазочастотная характеристика объекта.

Для этой частоты начальные параметры системы находятся из выражений:

(103)

Оптимальность параметров проверяется вычислением АЧХ системы. Если резонансный пик АЧХ принял заданное значение, можно попытаться улучшить настройку, повторив расчет для больших ω_рез. Увеличение ω_рез следует производить до тех пор, пока резонансный пик не начнет превышать допустимое значение. При относительно малом запаздывании в объекте резонансный пик |Wo(jω)| «размывается», а при относительно большом запаздывании появляется второй резонансный пик на более высокой частоте. Появление второго пика в АЧХ замкнутой системы нежелательно, т.к. связано с увеличением чувствительности системы к вариациям параметров, ростом значений и скорости перемещений регулирующих органов, усложнением формы переходных процессов.

Если резонансный пик при ω_рез = ω_γ превышает значение Мдоп, это свидетельствует о необходимости уменьшения ω_рез. Такая ситуация возникает при относительно большом запаздывании в объекте. При очень больших запаздываниях может оказаться, что условие М≤Мдоп невыполнимо, в связи с чем часто вынуждены переходить к разомкнутому управлению.

В качестве примера рассмотрим расчет настройки ПИД - регулятора для объекта с передаточной функцией

.

(104)

при τ = 0,1 мин, T₁ = 1 мин, Т₂ = 0.5 мин. Соответствующая АФХ изображена на рис. 30.

Рис.30

Подставив в (102) выражение для ФЧХ объекта

,

получим ω_γ =1.518 рад / мин, Мдоп = 1.5475.

Определив, кроме того производную

(105)

и используя (103), получим первое приближение к оптимуму настройки Ти=0.837, Тд=0.518, Ки=3.754. Для этого случая АЧХ приведена на рис.31, а переходный процесс при ступенчатом воздействии на рис.32 (под индексом 2). Для ω_рез = 1.83 рад/мин параметры настройки равны Ти = 0,757, Тд = 0,562, Ки = 4,801. (кривая 1 на графиках рис.31). Здесь же приведены кривые для настройки ПИ - регулятора(кривая 3) и для сравнения АЧХ системы при т = 0,4 (кривая 4).

Рис.31

Рис.32

5.5. Экспериментальный метод определения настроек регулятора

Как видно из ранее изложенного, графо - аналитические методы определения оптимальных значений параметров настроек регулятора довольно трудоемки, и требуют знания переходной функции объекта регулирования, чего зачастую не бывает. Значительно проще экспериментальный метод.

Экспериментальный метод определения параметров настроек регулятора (метод Циглера - Никольса) заключается в создании в замкнутой САР незатухающих колебаний У(t), нахождении их частоты ω_кр и вычислений по приближенным формулам Кр, Ти, Тд. Полученные настройки регулятора в большинстве случаев обеспечивают удовлетворительное качество регулирования выходной координаты У(t).

Для создания автоколебаний ПИД - регулятора преобразуется в П - регулятор (Ти = ∞, Тд = 0) и постепенно увеличивается коэффициент усиления Кр.

При некотором значении Ккр переходный процесс становится незатухающими с периодом Ткр и частотой ω_кр = 2π/Ткр. По известным Ккр и ω_кр вычисляются в первом приближении оптимальные параметры настроек.

Для П -регулятора Кр = 0.5 Ккр.

Для ПИ - регулятора Кр = 0.45∙Ккр, Ти = Ткр/1.2.

Для ПИД - регулятора Кр = 0.6∙Ккр, Ти = Ткр/2, Тд = Ткр/8.

Затем проверяется качество регулирования и при необходимости корректировка значений настроек регулятора.

Недостатком данного метода автоматической настройки является прекращение процесса регулирования объекта на время настройки, при этом наблюдается высокая чувствительность к шумам в канале измерения, возникает опасность срыва автоколебаний при действии возмущений. В работе [7] предложена структурная схема (рис.33) адаптивного ПИД - регулятора с настройкой параметров по методу Циглера - Никольса и с частотным разделением каналов управления и самонастройки, что достигается включением двух заграждающих цифровых фильтров в обратную связь контура регулирования.

Рис.33

Основной контур системы состоит из настраиваемого регулятора Р, собственно объекта управления ОУ и двух заграждающих фильтров (основного ЗФО и дополнительного ЗФД). Дополнительный фильтр с помощью переключателя П1 включается лишь на первом этапе, либо периодически для определения требуемых по методу Циглера - Никольса настроек. Блоки синхронного детектирования СД1, СД2 вычисляют установившиеся значения амплитуд Аб, Ао и фаз Фб, Фо пробных составляющих в выходных сигналах основного заграждающего фильтра У₁ и объекта управления У. Отслеживание заданного фазового сдвига Фз осуществляется с помощью блока фазовой автоподстройки частоты БФАЧ. Путем сравнения установившегося значения фазового сдвига Фо с заданным Фз блок корректирует частоты пробных синусоидальных колебаний первого П и второго Г2 генераторов. Причем частота генератора Г2 выбрана вдвое больше частоты генератора П. Вычислительные блоки ВБ1, ВБ2, ВБЗ по командам блока управления БУ проводят вычисление поправочного коэффициента С, параметров настройки регулятора и коэффициентов заграждающих фильтров. В запоминающих устройствах ЗУ1, ЗУ2 хранятся значения коэффициента С и фазового сдвига Фо в объекте управления в момент расчета требуемых настроек. По командам блока управления с помощью переключателей ПЗ, П4, П5, П6 происходит коммутация входных сигналов соответствующих блоков на разных этапах работы системы.

Процесс самонастройки состоит из двух этапов: двухчастотного, в конце которого вычисляются требуемые настройки и коэффициент С; основного, в котором процесс самонастройки происходит уже на одной повышенной частоте пробных колебаний с одним заграждающим фильтром ЗФО в контуре обратной связи. Именно определение критической частоты и соответствующей амплитуды колебаний для блока ОУ + ЗФО позволяет работать с нужными параметрами настроек на втором этапе. Достигается это с помощью поправочного коэффициента С, устанавливающего связь между требуемыми по методу Циглера -Никольса настройками на первом и втором этапах работы системы.

В [16] предложен алгоритм настройки регулятора в замкнутом контуре путем подачи на вход системы пробного синусоидального сигнала. Изложенный в главе 5.4 метод настройки системы в диалоговом режиме позволяет сформулировать удобные для автоматизированной настройки действующих систем косвенные неэкстремальные критерии. Для объекта с передаточной функцией

при заранее зафиксированных значениях параметров р и п эти критерии следующие: [13]

(106)

а ω_γТ определяется решением уравнения

.

(107)

Задача оптимизации может, например, решаться подачей на систему синусоидальных колебаний с некоторой частотой со при одновременной установке в регуляторе Ти, Тд, Кп, найденных из (106) и изменением со до тех пор, пока фазовый угол и модуль АЧХ разомкнутой системы не достигнут значений γ и . Значения β и n для каждой конкретной системы могут быть уточнены оценкой АФХ системы на двух частотах - ω_γ и близкой к ней.

5.6. Расчет параметров настройки микропроцессорных систем автоматического регулирования

Современные системы автоматического регулирования технологических процессов строятся на базе микропроцессорной техники. Их принципиальное отличие от традиционных аналоговых заключается в том, что они являются цифровыми (дискретными). Структура такой системы регулирования изображена на рис. 34.

Рис.34

Здесь О- объект регулирования, ЦР - цифровой регулятор, состоящий из квантователя KB, цифрового вычислительного устройства ЦВ, фиксатора Ф; у - регулируемая величина, х - задающее воздействие, μ -регулирующее воздействие, υ - приведенное к выходу возмущающее воздействие, ε - ошибка регулирования, ε(к) - последовательность чисел, определяющих значение ε в моменты квантования К, μ(к) - последовательность чисел, определяющих значения μ в эти моменты.

Из структурной схемы видно, что непрерывный во времени процесс ε(t) преобразуется в дискретный ряд чисел ε(к), т.е. квантуется по уровню и по времени.

После преобразования числовой информации в вычислительном устройстве согласно выбранному закону регулирования, совершается обратный процесс преобразования цифровой информации в аналоговую и на выходе регулятора формируется непрерывное во времени регулирующее воздействие μ(t).

В основе математического анализа таких систем лежит дискретное преобразование Лапласа, либо Z - преобразования.

Согласно теореме В. А. Котельникова при замене непрерывного во времени сигнала квантованным, потери информации не происходит, если выполняется условие:

(108)

где Т- период квантования

В этом случае квантователь может быть заменен обычным безынерционным звеном с коэффициентом передачи 1/Т. Тогда структурная схема автоматической системы регулирования преобразуется к виду изображенному на рис. 35.

Рис.35

Она является схемой обычной системы с непрерывным регулятором. Передаточная функция такого эквивалентного регулятора

,
,

где Wф(р) - передаточная функция фиксатора,

Wву(p) - передаточная функция модели вычислительного устройства.

Если желаемым непрерывным регулятором является идеализированный ПИД - регулятор с передаточной функцией

(109)

(Кр - коэффициент передачи регулятора, Ти, Тд постоянные времени интегрирования и дифференцирования), то передаточная функция модели цифрового вычислительного устройства будет определяться формулой [12]:

(110)

Передаточная функция непрерывного регулятора, эквивалентного при малых периодах квантования цифровому описывается выражением:

(111)

Это выражение не совпадает с выражением для передаточной функции желаемого ПИД – регулятора (109), т.е. выполнение условия (108) гарантирует только то, что система регулирования с цифровым регулятором будет вести себя как система с аналоговым регулятором. Однако этот регулятор будет отличаться от желаемого, имея добавочный параметр настройки Т. Только при Т→0 можно принять это выражение стремится к (109), т.к. в этом случае можно принять . Чтобы обеспечить близость качественных параметров процессов регулирования в системах с цифровыми и желаемыми аналоговыми регуляторами, нужно обычный расчет оптимальных параметров настроек методами теории непрерывных систем дополнить добавочным расчетам периода квантования. При обычно применяемом критерии оптимальности о близости этих процессов можно судить по разности показателей колебательности Муиэ и Муи обеих систем - резонансных пиков АЧХ Ауиэ(ω) и Ауи(ω):

(112)

где ΔФ, ΔМ - заданная малая величина, при выборе которой можно ориентироваться на связь между показателем колебательности и степенью затухания собственных колебаний в системе 2-го порядка. Так, если при расчетной степени затухания 0.9 допускается ее уменьшение до 0.85, то при достижении Муи = 1.55 следует выбрать Муиэ = 1.8.

В качестве примера рассмотрим систему регулирования температурой печи, передаточная функция которой [12]:

при Ко = 7.2 °С/%УП; T₁ = 122 с; Т₂ = 14.5 с; τ = 3.9 с.

Расчет оптимальной настройки непрерывного ПИ регулятора по критерию Кр/Ти = max при ограничении на частотный показатель колебательности М < 1.55 дает результат:

Кр.оит = 0.86% УП/°С; Ти.оит = 62 с.

Определим значения периодов квантования цифрового ПИ регулятора, обеспечивающего такое же качество регулирования. По формулам (112) (108):

При ΔФ = 0.05 ω_mах = 0.26 1/с; Т = 12 с.

При ΔФ = 0.02 ω_mах = 0.42 1/с; Т = 7.5 с.

На рис.36 представлены графики АЧХ Ауиэ(ω) системы с эквивалентным непрерывным регулятором для этих периодов квантования.

Рис. 36

Как видно из рис.36 резонансные пики значительно превышают расчетное значение М = 1.55, хотя выбранные значения ΔФ представляются вполне приемлемыми для инженерной практики. После корректировки периода квантования так, чтобы М = 1.8, получим Т = 3.8 с.

Проверить точность расчета Т можно сравнением процессов регулирования, осуществляемых цифровыми и аналоговыми регуляторами. В данном примере они практически совпадают.