7. Влияние запаздывания в системе на качество регулирования

7.1. Устойчивость систем с запаздыванием

Большинство промышленных объектов обладают существенным запаздыванием. Примерами таких объектов являются тепловые объекты, объекты, в которые протекают тепло - массообменные процессы, объекты, связанные с перемещением сыпучих материалов, жидкостей, газов, пара. Значительное запаздывание имеют абсорбционные и ректификационные колонны, трубчатые печи, поверхностные теплообменники, длинные трубопроводы и т.п.

При наличии в системе одного элемента с запаздыванием τ передаточная функция разомкнутой системы может быть записана в виде:

,

(116)

а характеристическое уравнение замкнутой системы:

(117)

Характеристический вектор, соответственно, описывается выражением:

(118)

или, если записать W(jω) через модуль и фазу:

(119)

Из этого выражения следует, что характеристический вектор системы с запаздыванием τ может быть получен из характеристического вектора системы без запаздывания (вырожденная система) путем поворота каждой точки характеристического вектора по часовой стрелке на угол Θ = ω_τ .

Условие устойчивости системы с запаздыванием формулируется следующим образом:

1. Если система с запаздыванием в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет r корней справа от мнимой оси, то в замкнутом состоянии она будет устойчивой, если вектор W(jω)e^-jωτ при изменении ω от -∞ до +∞ охватывает r раз точку {-1, j0}.

2. Если система с запаздыванием в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. r=0, то в замкнутом состоянии она будет устойчива, если вектор W(jω)e^-jωτ не охватывает точку {-1, j0}.

На рис.39 изображена амплитудно-частотная характеристика устойчивой системы.

Рис.39 Рис.40

Запас устойчивости по фазе равен Θ. Очевидно, что, если повернуть АЧХ дополнительно на угол Θ, система станет неустойчивой. Этот дополнительный фазовый сдвиг может быть вызван запаздыванием τ₀. Отсюда можно определить критическое запаздывание в системе τ₀ = Θ/ω₀.

Если амплитудно-частотная характеристика такова, что имеется несколько точек пересечения с окружностью радиуса R=1, (рис.40), то с ростом τ будут чередоваться области устойчивости и неустойчивости. Действительно, для τ, лежащих в пределах 0 - τ₀₁ система устойчива, при τ₀₂ > τ > τ₀₁ система неустойчива, а при τ > τ₀₂ система опять устойчива.

В качестве примера влияния запаздывания на свойства САР рассмотрим одноконтурную систему регулирования с объектом, описываемом передаточной функцией

.

с ПИ - регулятором в контуре регулирования [18]. На рис.41 приведены результаты расчета переходных процессов в САР при различных τ и T₁.

Рис.41

Из этих примеров видно, что увеличение запаздывания ведет к увеличению перерегулирования, колебательности, времени установления процесса.

Таким образом, в общем случае, запаздывание осложняет задачу регулирования процесса. Быстродействие САР уменьшается, качество регулирования ухудшается, область устойчивости в плоскости настроечных параметров резко сокращается. В каких - то частных случаях увеличением запаздывания можно стабилизировать неустойчивую систему, однако качественные характеристики такой системы будут низкими.

При расчете оптимальных настроек регуляторов в системах с запаздыванием возникают значительные теоретические трудности. При наличии запаздывания замкнутая система всегда имеет бесконечное число корней [3, 10] вне сектора:

(метод расширенных АФХ) и исследование, как это обычно делается первой точки пересечения годографа W(m, ω) с отрицательной вещественной полуосью не гарантирует не только запаса, но и вообще устойчивости системы. Тем не менее, в большинстве практических расчетов используют именно этот метод и при этом обеспечивается не только устойчивость, но и заданное качество системы, что объясняется видом передаточных функций, обычно встречаются в расчетах АСР в теплоэнергетике.

Согласно (119), общее выражение для расширенной АФХ запишется в виде:

.

(120)

Дальнейший расчет параметров настройки регулятора ведется обычным способом.

7.2. Компенсация чистого запаздывания

Из ранее изложенного следует, что даже при оптимальной настройке регулятора качество процесса регулирования тем хуже, чем больше и само запаздывание и отношение запаздывания к постоянной времени объекта.

Если τ/Т > 0.2, то применение обычной непрерывной САР со стандартным регулятором не обеспечит удовлетворительного качества [8]. Несколько лучшие результаты по времени регулирования даст импульсный регулятор.

В тех случаях, когда к качеству переходного процесса предъявляют высокие требования, целесообразно использовать специальные регуляторы или алгоритмы, обеспечивающие компенсацию чистого запаздывания.

Примером регулятора, компенсирующего запаздывание объекта, является регулятор Смита. Он представляет собой замкнутую систему, состоящую из обычного регулятора и модели объекта, включенную в линию обратной связи (рис. 42).

Рис.42

Условие компенсации запаздывания

.

(121)

Откуда

.

(122)

В этом случае характеристическое уравнение системы имеет вид:

.

(123)

На рис.43 приведены графики переходных процессов ПИ - регулятора (1) и регулятора Смита (2).

Рис.43

К недостаткам регулятора Смита, кроме сложности в его реализации, относится высокая чувствительность к параметрам настройки модели. Ошибки в настройке модели, вызванные неточными априорными знаниями о характеристиках объекта или нестационарностью его свойств, могут привести не только к ухудшению качества, но и к потере устойчивости.

Теоретически запаздывание может быть скомпенсировано полностью введением в контур регулирования прогнозирующего звена с передаточной функцией е^pΔt (рис.44).

Рис.44

В общем случае сигнал ошибки регулирования ε(t) содержит детерминированную Е(t) и случайную ξ(t) составляющие

.

(124)

Согласно теории фильтрации, можно построить фильтр, оптимальным образом выделяющий детерминированную составляющую из шума. Переходная функция такого фильтра [4]:

.

(125)

где Ве(jω), Bξ(jω) - энергетические спектры сигнала и шума. На выходе фильтра присутствует только детерминированная составляющая ошибки регулирования Е(t). Прогноз этой функции на время ΔT-E(t+ΔT). Изображение по Лапласу этих функций соответственно Z[E(t)], Z[(t+ΔT)].

Сдвиг функции по времени на AT соответствует умножению ее изображения на е^pΔT, т.е.

.

(126)

Раскладывая ее в ряд Тейлора, имеем:

Переходя от изображения к оригиналам, получим:

.

Таким образом, будущее значение функции Е(t) связано с настоящими параметрами через взвешенную сумму производных. При отсутствии помех ( ) и при бесконечной дифференцируемости процесса бесконечный ряд Тейлора для этого процесса является оптимальным оператором прогнозирования на любой интервал времени ΔT, независимо от вида энергетического спектра сигнала.

Структурная схема прогнозирующего фильтра изображена на рис.45.

Рис.45

Коэффициенты r_i близки к коэффициентам ряда Тейлора.

При медленных процессах Е(t) сложно реализовать аналоговые схемы вычисления производных Е(t). В этом случае целесообразно перейти от непрерывной функции к ее отсчетам в дискретные моменты времени, а производные заменить приращениями

(127)

Если использовать только первую производную, то прогнозируемое на ΔT значение функции будет равно:

.

(128)

Если использовать две производные, то

(129)

Прогнозируемая таким образом функция Е(t) будет дискретной. Если в контуре управления задействована ЭВМ, то численные результаты прогноза могут быть использованы непосредственно. Если же необходимо вернуться к аналоговой форме сигнала, то это можно сделать, используя интерполяционный ряд Котельникова [8].

Близкий к оптимальному результат дает применение цифроаналогового преобразователя с последующей низкочастотной фильтрацией.

Операцию фильтрации сигнала при дискретном его представлении можно в первом приближении заменить операцией экспоненциального сглаживания [5].

Рассмотрим процесс, равный сумме постоянной а₀ и случайного остатка, имеющего нулевое математическое ожидание. Значение а₀ в момент времени t можно определить по его значению в момент времени (t-1) как

,

(130)

где β – некоторый коэффициент < 1.

Пусть ε(t) – ошибка прогноза Е(t).

Тогда

(131)

Прогноз в момент t является прогнозом, сделанным в момент времени (t -1), к которому добавляется последняя ошибка, умноженная на (1-β).

Метод имеет два ценных свойства. Если β определено, то никаких значений о прошлом, за исключением величины, полученной в предыдущий момент времени, не требуется. И, второе, метод обладает свойством подстраивания к изменившимся условиям.

Если истинное значение определяется линейной функцией а₀+a₁(t), то прогноз определяется формулами:

(132)

Оптимальный коэффициент β можно найти минимизируя по β сумму квадратов ошибки.

.

(133)

На практике ограничивают число членов ряда N и находят β методом последовательных приближений. В первом приближении

.

(134)

Экспоненциальное сглаживание дает несмещенную оценку математического ожидания.

.

S(t) является прогнозом на один шаг функции E(t).

Процедуру получения S₁ называют первым сглаживанием, S₂ - второе сглаживание. Эту процедуру можно проводить несколько раз и обобщить на случай полиномиальных функций более высокого порядка.

Задача фильтрации дискретной функции может быть решена и на основе теории цифровых фильтров.

Математически работа линейного дискретного фильтра описывается разностным уравнением [20].

,

(135)

где Х(nТ), Y(nТ) – n-ые отсчеты входного и выходного сигналов,

a_j, b_i – константы или отсчеты решетчатых функций, зависящих только от n.

Коэффициенты a_j, b_i рассчитываются по заданной формуле частотной характеристики фильтра.

Цифровые фильтры делятся на два класса: нерекурсивные и рекурсивные. Если в (112) все коэффициенты a_j, то фильтр нерекурсивный. Алгоритм нерекурсивного фильтра

.

(136)