Величина под касательной вс равна сумме постоянных времени
|
|
Величину Т2 можно определить из выражения:
|
(32) |
Это выражение трансцендентно, поэтому прямо определить Т2 нельзя. Оно может быть найдено как абсцисса точки пересечения двух функций:
|
(33) |
|
(34) |
В более сложных случаях, когда объект описывается уравнением выше второго порядка, используют один из перечисленных выше методов определения передаточных функций по кривой разгона.
Достаточно прост и позволяет получить удобные для последующих расчетов выражения, метод последовательного логарифмирования [21].
3.2.4. Определение передаточной функции методом последовательного логарифмирования
В общем случае исследуемый объект описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
|
(35) |
.
Если корни характеристического уравнения имеют действительные отрицательные значения, то его решение
|
(36) |
Для определения коэффициентов Нк и Тк применим метод последовательного логарифмирования, который заключается в последовательном приближении функции h(t) решением уравнения первого порядка, т.е. функции
|
|
.Если такая аппроксимация не удовлетворяет на каком-то отрезке времени, то рассматривается вторая составляющая
|
|
.Итак, полагаем, что
|
или |
|
(37) |
,
.Прологарифмируем это выражение
|
(38) |
.
Вычисляем
.
Логарифмируем и строим график в десятичных
логарифмах
функции In
|
hi(t)
|
в зависимости от t
|
(39) |
.
Проводим асимптоту к полученной кривой (рис.15). На оси ординат она отсекает отрезок, равный lgH1 - при t = 0. Отсюда определим H1.
Величина 1/T1 равна тангенсу наклона асимптоты к оси абсцисс
|
(40) |
где t1 – точка пересечения с осью времени.
Рис.15
Если проведенная асимптота не совпадает со всеми значениями lg|h1(t)|, повышаем порядок дифференциального уравнения
|
(41) |
Логарифмируем h2(t) и строим график lg|h2(t)|. Аналогично определяем Н2 и T2. Процесс прекращается, когда hn(t) = 0. При правильно определенных параметрах должны выполняться условия:
|
|
|
(42) |
,
.
Продифференцируем уравнение переходной функции.
|
(43) |
.
Преобразуем функцию по Лапласу
|
(44) |
Отсюда,
|
(45) |
Если объект обладает запаздыванием, то коэффициенты Нк, Тк определяются по переходной функции, из которой выделено чистое запаздывание.
|
(46) |
.
При расчете удобно пользоваться таблицей по форме:
t(c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg|h1(t)| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1e-t/T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg|h2(t)| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.5. Определение передаточной функции объекта методом площадей
Одним из наиболее удобных методов расчета передаточных функций по кривой разгона с использованием ЭВМ является метод "площадей".
Рассмотрим функцию h(t), которая получена из экспериментальной переходной функции объекта исключением чистого запаздывания и нормировки. Пусть h(0) = h'(0) = 0.
Обычно выражение для передаточной функции ищут в виде одной из трех математических моделей:
|
(47) |
|
(48) |
|
(49) |
Выражение
,
обратное
передаточной функции модели, можно
разложить в ряд по степени р
|
(50) |
Очевидно, что для модели (47) a1 = S1, a2 = S2, а3 = S3; для модели (48) a1 = S1, a2 = S2; для модели (49) коэффициенты bi, ai, i = 1,2,3... связаны с коэффициентами Si системой уравнений
|
(51) |
Коэффициенты Si связаны с переходной функцией h(t) соотношениями:
|
|
|
|
|
(52) |
|
|
,
,
,
.
Моментом i - го порядка функции (1 - h(t)) называется несобственный интеграл
|
(53) |
.
Тогда формулы для S можно переписать:
|
|
|
|
|
(54) |
|
|
,
,
,
.
Таким образом, определив по графику h(t) значение моментов Mi методом численного интегрирования и вычислив величины Si, можно найти значения коэффициентов передаточной функции.
Выбор вида передаточной функции производится из следующих соображений: если коэффициенты S1, S2, S3 положительны, то задаются моделью (47) или (48). Если хотя бы один из них отрицателен - моделью (49).
Ниже приведен пример программы расчета значений коэффициентов Si, i = 1...4, составленной на алгоритмическом языке Бейсик [9]. В программе N - число координат передаточной функции; X -шаг Δt во времени; P(I) - значение ординат функции h(t). Вычисление моментов Mi, i = 0....3 производятся по дискретным значениям переходной функции по формулам трапеций.
010 READ N,X
020 DIM P[30]
030 DIM Z[30]
040 LET M0 = M1 = M2 = M3 = M4 = 0
050 FOR I = I TO N
060 READ P[I]
070 LET Z [I] = (1 - P[I]) ∙ X
080 LET M1 = M0 + Z[I]
090 LET T = (I-1)∙X
100 LET M1 =M1 + Z[I]∙T
110 LET M2 = M2 + Z[I] ∙ Т – 2
120 LETM3 = M3 + Z[I]∙T-3
NEXT I
140 LET S1 = M0-Z[I]/2
150 LET S2 = S1 - 2 - M1
160 LET S3 = S2 ∙ M0 - S1 ∙ M1 + M2 / 2
170 LET S4 = S3∙M0 - S2∙M1 + S1∙M2/2 - M3/6
180 PRINT " S1 = ", S1," S2 = ", S2
185 GOTO 190
190 PRINT " S3 = ", S3," S4 = ",S4
200 DATA 23,1
210 DATA 0,2.00000E - 02, .12, .24, .35, .45, .55, .62, .69, .76, .79
220 DATA .83, .87, .89, .92, .94, .95, .96, .97, .98, .99, .99, 1
230 END
READY
Перед обращением к программе из экспериментальной кривой разгона необходимо определить время чистого запаздывания τ, затем провести дискретизацию по времени Δt и нормировку путем деления всех ординат на величину Y(N). Шаг квантования выбирается таким, чтобы между соседними отсчетами переходная формула была близка к прямой. Число отсчетов N обычно 25…30.
В заключение проверяется точность аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных передаточных функций модели и объекта не превышает 0.05…0.07.