3.10. Соленоидальные и потенциальные векторные поля

Важными классами векторных полей являются соленоидальные поля и потенциальные поля. Можно показать, что при достаточно общих предположениях любое векторное поле раскла-дывается в сумму потенциального и соленоидального векторных полей.

Непрерывное в области G векторное поле называется соленоидальным в этой области, если для любой ограниченной области с кусочно-гладкой границей его поток через эту границу равен нулю.

Теорема 6. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в некоторой области векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области его дивергенция равнялась нулю: .

Примером соленоидального в некоторой области G поля является поле вихря , заданного на G, дважды непрерывно дифференцируемого векторного поля (последнее означает, что вектор-функция имеет в G непрерывные частные производные второго порядка). В силу теоремы 6 достаточно проверить, что в G. Действительно, если , то , и

(из непрерывности смешанных производных следует, что они не зависят от порядка дифференци-рования).

Если в области G задано векторное поле и существует скалярное в G поле u, для которого векторное поле является полем градиентов: , то функция u называется потенциалом векторного поля

. Векторное поле, для которого существует потенциал, называется потенциальным полем. Таким образом, в случае потенциального векторного поля , его компоненты являются производными некоторой функции u:

,

а дифференциальная форма является полным дифференциалом:

.

Очевидно, потенциал определен неоднозначно, с точностью до постоянного слагаемого.

Предположим теперь, что заданное в области G потенциальное векторное поле непрерывно в G, u – его потенциал, и – гладкая кривая, лежащая в области G, началом которой является точка A, а концом – точка B:

.

Рассмотрим криволинейный интеграл

.

Подставляя и применяя формулу дифференцирования сложной функции, будем иметь:

.

Таким образом, для потенциального поля криволинейный интеграл не зависит от выбора гладкой кривой, соединяющей в области G точки A и B, и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках. Это утверждение очевидным образом распространяется и на кусочно-гладкие кривые. В частности, для лежащего в G замкнутого кусочно-гладкого контура Г криволинейный интеграл равен нулю (точки A и B совпадают). Несложно показать и обратное: из равенства нулю циркуляции по любому замкнутому контуру следует, что поле потенциально.

Таким образом, имеет место следующий критерий потенциальности векторного поля:

Теорема 7. Для того чтобы непрерывное векторное поле было потенциальным в области, необходимо и достаточно, чтобы его циркуляция по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равнялась нулю.

Необходимое и достаточное условие в теореме, однако, трудно проверяемо. Для широкого класса областей существует более удобный критерий потенциальности.

Область называется односвязной, если любой лежащий в G кусочно-гладкий замкнутый контур можно непрерывной деформацией в G стянуть в точку. Примером односвязной области является всякая выпуклая область, примером неодносвязной области служит тор.

Теорема 8. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было потенциальным в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы его вихрь в этой области равнялся нулю.

Заметим, что условие в G является необходимым в случае произвольной области G, без предположения односвязности. Действительно,

. Таким образом, потенциальные поля являются безвихревыми. В случае же односвязной области верно и обратное: безвихревое поле будет потенциальным.

Формула

,

справедливая для потенциального поля , оказывается полезной как для вычисления криволи-нейных интегралов, если известен потенциал, так и для нахождения потенциала. Зафиксировав любую точку , можно считать потенциал в этой точке равным нулю: . Тогда для точки будем иметь:

,

причем, согласно сделанному замечанию, путь интегрирования можно выбирать произвольным.

Пример. Проверить, является ли поле потенциальным в четверть-пространстве x > 0, z > 0, и найти его потенциал.

Решение. Согласно теореме 8, достаточно проверить условие . Имеем:

, ; ; .

Таким образом, поле потенциально. Для нахождения потенциала рассмотрим интеграл

вдоль ломаной , соединяющей точки A(0,1,1) и B(x, y, z) (рис. 37; звенья ломаной параллельны координатным осям). Очевидно,

.

Рис. 37

При этом

,

,

.

Итак, .