6. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 6 Задание

Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к сфере в точке .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Вычислить , , и подста-вить в них координаты заданной точки	Подстановкой координат P₀ в уравнение поверхности убеждаемся, что P₀ лежит на сфере . ; ;
2	Записать уравнение касательной плоскости:	(–2)(x + 1) – 2(y + 1) + 2(z – 1) = 0, x – y + z – 6 = 0
3	Записать уравнение нормали:

Решите самостоятельно.

Дано уравнение поверхности F(x, y, z) = 0 и точка P₀ на ней.

6.1. Напишите уравнение касательной плоскости к поверхности в точке P₀.

а) (эллипсоид), .

б) (эллиптический параболоид) в точке (1, 1, ?).

6.2. Напишите уравнения нормали к конусу в точке .

7. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 7 Задание

Найдите уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к винтовой линии: x = a cos t, y = a sin t, z = bt (a > 0, b > 0 – заданные константы) в точке M₀, отвечающей значению .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Определить значение параметра t₀, соот-ветствующее заданной точке на кривой	Значение t₀ дано по условию
2	Если задано значение t₀ параметра, то найти точку	Имеем: ; ; ;
3	Записать уравнение касательной прямой	, , , , , . Поскольку , то эту систему уравнений можно записать следующим образом: ; y – a = 0. Таким образом, касательная лежит в плоскости, параллельной, и имеет в этой плоскости уравнение.
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
4	Записать уравнение нормальной плос-кости:	Отсутствие в получившемся уравнении озна-чает, что плоскость и стало быть перпен-дикулярна плоскостям, которые , а значит, и касательной прямой, как и должно было быть