8. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 8 Задание

№ п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Нарисовать область интегрирования

Находим точки пересечения параболы и прямых:

.

Область D имеет вид:

2

Представить двойной интеграл в виде повторного, определив порядок интег-рирования и расставив пределы интег-рирования

3

Вычислить повторный интеграл

№ п/п

Новое понятие

Содержание

1

2

3

1

Функция двух независимых переменных

если D – множество точек P плоскости xOy, определяемых двумя координатами x и y: P(x, y), то – функция двух переменных

2

Внутренняя точка

P – внутренняя точка для множества D, если существует -окрестность P, целиком содержащаяся в D

3

Открытая область

такое множество, что: а) все ее точки внутренние; б) любые две точки P₁ и P₂ из D можно соединить непрерывной линией, лежащей в D

4

Граничная точка

точка P – граничная точка множества D, если в любой ее -окрестности найдутся как точки из D, так и точки, не принадлежащие D

5

Замкнутая область

замкнутая область получается, если к открытой области присоединить все ее граничные точки

6

Линия уровня

если дана функция f(x, y), то линия уровня – это множество точек (x, y), для которых значения f(x, y) одинаковы:

f(x, y) = C

7

Предел в точке

для функции нескольких переменных

число a есть предел функции f(P) при , если для такое, что во всех точках P области опреде-ления функции, попавших в -окрестность точки P₀, кроме, быть может, как в самой точке P₀, выполняется неравенство: ; запись

8

Непрерывность функции двух переменных

функция f(P) непрерывна в точке P₀, если

;

9

Приращения функции двух переменных

z = f(x, y)

– полное

– частное по x

– частное по y

10

Частная производная

частная производная функции нескольких переменных по какой-то переменной – результат дифференцирования по этой переменной, при котором все остальные переменные считаются постоянными; в частности, для z = f(x, y) в точке (x₀, y₀):

;

11

Дифференцируемость функции двух переменных

функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀), если ее полное приращение можно представить формулой , где , , o(r) –б.м. высшего порядка по сравнению с

12

Полный дифференциал функции двух переменных

главная часть полного приращения z, линейная относи-тельно x и y:

1

2

3

13

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

приращение аппликаты точки, двигающейся по касательной плоскости

14

Необходимый признак экстремума функции двух переменных

в точке экстремума частные производные равны нулю, если они существуют:

,

15

Функция трех независимых переменных

, если D – множество точек P трехмер-ного пространства, определяемых тремя координатами (x, y, z)

16

Поверхность уровня

для функции f(x, y, z) множество точек, в которых значения функции одинаковы f(x, y, z) = C

17

Пространство Rⁿ

n-мерное пространство, точками P которого являются наборы из n чисел – координат точки P: . Частные случаи: 1) R¹ = R – числовая ось, точки P(x) обозначаются просто x; 2) R² – плоскость, координаты точек обычно обозначаются x и y: P(x, y) или просто (x, y); 3) R³ – трехмерное (привычное) пространство, координаты точек обычно обозначаются x, y, z: P(x, y, z) или просто (x, y, z)

18

Расстояния в Rⁿ

расстояние между и вводится формулой

19

-окрестность точки P₀

множество всех точек P, для которых

20

Функция n независимых переменных

, если D – множество точек P n-мерного пространства, определяемых n координатами (x₁, x₂,…,x_n): P(x₁, x₂,…,x_n)

21

Скалярное поле

u = f(P) в области D – то же, что функция точки

22

Производная

по направлению

пусть в плоской или пространственной области D задано скалярное поле u = f(P); в точке указано также вектором направление;

производная по направлению в P₀ – это , где – приращение u при смещении точки из P₀ по направ-лению на величину l;

в плоском случае и ;

в пространственном случае и

23

Градиент скалярного

поля (функции) u

вектор – в плоском случае, или

– в R³;

– орты осей координат

24

Дифференциал длины дуги

– плоская кривая,

– пространственная кривая

1

2

₃

25

Векторная функция

– векторное уравнение прост-ранственной линии (годографа этой векторной функции)

26

Нормальная плоскость

плоскость, проведенная через точку касания перпенди-кулярно касательной прямой

27

Натуральные уравнения кривой

параметрические уравнения, в которых параметр – длина дуги; векторная функция, у которой параметр – длина дуги:

28

Главная нормаль

прямая, идущая по вектору ; перпендикулярна каса-тельной (идущей по вектору )

29

Средняя кривизна кривой

абсолютная величина отношения угла  поворота каса-тельной к длине дуги , на которой произошел поворот

30

Кривизна кривой в точке

предел средней кривизны, когда ;

кривизна

характеризует изогнутость кривой в точке

31

Соприкасающаяся плоскость

плоскость, проведенная через касательную и главную нормаль; может быть получена как предельное положение плоскости, проходящей через три точки кривой: M₁, M₀, M₂, когда и

32

Кручение кривой

предел отношения угла поворота бинормали, вызванного переходом из M₀ в M, к длине дуги при ;

мера отличия пространственной кривой от плоской (в точке M₀)

33

Бинормаль

прямая, идущая по вектору , где – орт касательной, а – орт главной нормали; перпендикулярна и касательной, и главной нормали

34

Интегральная сумма (Римана) функции f

сумма вида , соответствующая заданной в замкнутой плоской области D функции f(x, y), произволь-ному разбиению D на площадки D_i площадью S_i и выбору точек

35

Двойной интеграл

предел интегральных сумм при мелкости разбиений, стремящейся к нулю, и обозначается

36

Линейность двойного интеграла

свойство, состоящее в том, что

, для любых непрерывных в D функций f и g и постоянных  и 

37

Аддитивность двойного интеграла по области интегрирования

свойство, состоящее в том, что для произвольного разбие-ния области D на области D₁ и D₂ без общих внутренних точек и непрерывной в D функции f имеет место равенство:

38

Монотонность двойного интеграла

свойство, состоящее в том, что , для любых непрерывных в D функций f и g таких, что ,

1

2

3

39

Теорема о среднем для двойного интеграла

двойной интеграл от непрерывной в замкнутой области D функции f равен произведению площади S этой области на значение функции в некоторой точке P этой области:

40

Тройной интеграл

предел интегральных сумм при условии, когда наибольший из диаметров всех подобластей G_i стремится к нулю, обозначаемый

41

Формула сведения двойного интеграла

к повторному

для правильной области и непрерывной в D функции f

42

Формула сведения тройного интеграла

к повторному

для области

43

Формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле

,

где – полярные координаты точки

44

Формула перехода

к цилиндрическим координатам в тройном интеграле

,

где – цилиндрические координаты точки

45

Интегральная сумма

для криволинейного интеграла

сумма вида , соответствующая заданной на кривой Г векторной функции , выбранному на кривой непрерывному единичному касательному вектору , произвольному разбиению кривой Г на дуги Г_i длины s_i и выбору точек

46

Криволинейный интеграл от вектор-функции

по кривой Г

предел интегральных сумм при условии , обозначаемый или , где P, Q, R – компоненты вектора

47

Формула Грина

, где D – плоская область, ограниченная замкнутым кусочно-гладким контуром Г, а P и Q – функции, непрерывные в D вместе с частными производными и ; в криволинейном интеграле справа направление интегрирования соответствует обходу контура против часовой стрелки

48

Поверхностный интеграл по верхней стороне поверхности 

предел интегральных сумм при условии, когда наибольший из диаметров площадок стремится к нулю, и обозначается или

49

Векторное поле

векторная функция, заданная в некоторой части прост-ранства или плоскости

1

2

3

50

Градиент скалярного поля

векторное поле, компонентами которого являются , , , где u – скалярное поле

51

Дивергенция векторного поля

скалярное поле , где P, Q, R – компоненты исходного векторного поля

52

Ротор векторного поля

векторное поле, компонентами которого являются , где P, Q, R – компоненты исходного векторного поля

53

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру

криволинейный интеграл от соответствующей векторной функции по замкнутому контуру

54

Поток векторного поля через поверхность

поверхностный интеграл от соответствующей векторной функции по поверхности

55

Формула Стокса

, где  – поверхность, стягиваемая замкнутым контуром Г, а компоненты P, Q, R векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в некоторой области пространства, содержащей поверхность 

56

Формула

Остроградского-Гаусса

, где G – область в пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью , – непрерывное в G векторное поле с компонентами P, Q, R такое, что частные производные также непрерывны в G; в поверхностном интеграле справа поверхность  ориенти-рована внешней нормалью

57

Соленоидальное векторное поле

непрерывное в области G векторное поле , если для любой ограниченной области с кусочно-гладкой границей его поток через эту границу равен нулю

58

Потенциал векторного поля

такое скалярное поле, для которого данное векторное поле является градиентом

59

Потенциальное векторное поле

векторное поле, для которого существует потенциал