1.1.6. Свойства непрерывных функций
Для свойств непрерывных на замкнутом интервале функций также справедливы утверждения: если f(x, y) непрерывна в замкнутой, ограниченной области , то она: 1) достигает там своего наибольшего и наименьшего значений; 2) ограничена; 3) принимает все значения, промежуточные между наименьшим и наибольшим.
1.1.7. Приращения независимых переменных и приращение функции
Пусть f(x,
y)
задана в области D
и P0(x0,
y0)
– внутренняя точка области D.
Дадим аргументам x
и y
приращения x
и y
– произвольные, такие, однако, чтобы
точка
еще не выпала из D.
Тогда
(1.4)
– полное приращение функции.
Геометрически z
дает изменение аппликаты точки на
поверхности z
= f(x,
y)
при переходе от позиции
к позиции
,
т.е. разность длин “столбиков”,
поставленных соответственно в точках
и
.
Условие непрерывности f(x,
y)
в точке (x0,
y0)
можно записать и так:
.
(1.5)
Если бы мы дали приращение x только переменному x или только приращение y переменному y, то возникли бы частные приращения функции:
(1.6)
Эти приращения – частные (по x и по y соответственно); теперь оправдано и название “полное” для (1.4).
1.2. Дифференциальное исчисление функций двух переменных
1.2.1. Частные производные
Частными производными в точке (x0, y0) по x и y называются соответственно
и
.
(1.7)
(Конечно, если эти пределы существуют.) Обозначаются они
,
или
,
или
,
или
(1.8)
и, если необходимо,
показывается точка x0,
y0
где вычислены частные производные:
или
,
или
– например. Символы
(с круглыми ¶!)
– не настоящие дроби в отличие от
,
а лишь стилизованные обозначения
пределов.
Чтобы вычислить частную производную по какому-то из переменных, надо действовать по обычным правилам дифференцирования, считая другое переменное неизменным, постоянным.
Пример 1.
;
.
Пример 2.
;
.
1.2.2. Геометрический смысл частных производных
Проведем через точку
(x0,
y0)
плоскость x
= x0,
параллельную плоскости yOz.
На рис. 6 это плоскость
.
Рис. 6
Из поверхности z
= f(x,
y)
эта плоскость вырежет кривую L.
На L
получится точка
– конец “столбика”, восстановленного
из (x0,
y0).
Проведем через M0
касательную
прямую к линии L
(в плоскости сечения). Тангенс угла
наклона
касательной к оси
(или, что то же, к оси Oy)
и есть частная производная (по y)
(рис. 6):
.
(1.9)
Это вытекает из геометрического смысла обычной производной. Аналогичным образом истолковывается . Касательная M0T задается в пространстве системой двух уравнений первой степени:
.
(1.10)
Совершенно аналогичным образом, если провести сечение плоскостью y = y0, то образуется касательная прямая в этой плоскости с уравнениями
.
(1.10’)
1.2.3. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y)
Две касательные
прямые, построенные в разделе 1.2.2,
определяют плоскость. Эта плоскость
называется касательной
плоскостью к поверхности
в точке M0.
Поскольку она проходит через точку
,
ее уравнение можно записать так:
.
(1.11)
(Проверьте, что координаты удовлетворяют (1.11).)
В сечении этой плоскости плоскостью x = x0 образуется построенная нами касательная прямая M0T, для которой (см. 1.10)
.
(1.12)
Но из (1.11) следует, что
.
(1.13)
Сравнивая (1.12) и
(1.13), видим, что
;
точно так же находится и
.
Подставляя все это в (1.11), получаем:
(1.14)
– уравнение касательной плоскости.