§ 1.7 Потенциал электрического поля. Работа сил электростатического поля

Предположим, что точечный электрический заряд находится в электростатическом поле. На точечный электрический заряд q₁, находящийся в электрическом поле напряженностью Е, действует . При перемещении заряда в поле эта сила совершает работу. Докажем, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от вида траектории, а зависит от его начального и конечного положения, т.е. электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы консервативными. Докажем вначале это положение для точечного заряда

dA= , , F = q₁q/(4pee₀r²),

, значит . (1.15)

Из уравнения (1.15) следует, что работа осталась бы той же, если бы заряд перемещался по другому пути. Таким образом, работа по перемещению пробного заряда q₁ в поле, создаваемое точечным зарядом q, не зависит от траектории и является функцией расстояний между зарядами q и q₁. Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Если заряд q₁ перемещается в поле, создаваемом системой точечных зарядов q₁, q₂, q₃....., то на него действует сила

.

Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил

.

Так как работа А_i не зависит от формы пути, то и сумма работ тоже не зависит от формы пути. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы консервативными. Работа, которую совершают силы электростатического поля по перемещению положительного единичного заряда по замкнутому пути , равна линейному интегралу

.

Э тот интеграл называется циркуляцией напряженности вдоль замкнутого контура . В электростатическом поле нет замкнутых силовых линий. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура всегда равна нулю

dA = Fdr = Eqdr, ,

при q = и r₁ = r₂ .

Следовательно,

.

Так как электростатическое поле является потенциальным, то работа сил поля по перемещению заряда равна убыли потенциальной энергии заряда

dA = -dW или A = W₁ - W₂.

Для точечного заряда

, (1.16)

или DW = -W₁+W₂ = - . (1.17)

Формула (1.17) позволяет найти только изменение потенциальной энергии заряда q₁, но не абсолютное значение W_П. Для определения абсолютного значения W_П, которой обладает заряд q₁ в данной точке электростатического поля, нужно условится о том, в какой точке поля его W_П равна нулю. Интегрируя выражение (1.16), получим

W_П = q₁q/(4pee₀r) + C,

где С - произвольная постоянная. Условимся, как это обычно делают W_П = 0 при r = ¥ , тогда С = 0. Поэтому W_П заряда q₁, находящегося на расстоянии r от точечного заряда q, равна:

W_П = q₁q / (4pee₀r). (1.18)

Если заряды одноименные, то их взаимная потенциальная энергия увеличивается при их сближении (для разноименных зарядов - наоборот) (рисунок 1.15).

Потенциальная энергия заряда q₁, находящегося в поле точечных зарядов q₁, q₂, q₃,..., равна сумме его W_Пi в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности

. (1.19)

Для энергетической характеристики электростатического поля вводится понятие потенциала. Потенциал (j) какой либо точки электростатического поля - физическая величина, численно равная потенциальной энергии положительного единичного заряда, помещенного в эту точку

j = W/q₁ = . (1.20)

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом

j .

Тогда работа, совершаемая электростатическими силами при перемещении заряда:

dA = -qdj, A = q₁(j₁-j₂).

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного заряда, равна произведению этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории.

Работа в системе СИ измеряется в Дж. В атомной физике и в электронике работу измеряют в электрон-вольтах 1эВ = 1,6×10-19 Дж. Если заряд перемещается из бесконечности, где потенциал равен нулю в какую-то точку поля, то:

A¥=q(j - 0), j = A¥/q.

Значит, потенциал поля численно равен работе при перемещении положительного единичного заряда из бесконечности в данную точку поля. На практике за точку с нулевым потенциалом обычно выбирают землю. И рассматривают потенциалы различных точек поля относительно земли. Они будут другими, чем относительно бесконечности. Но разность потенциалов не зависит от выбора точки с нулевым потенциалом.

За единицу потенциала в системе СИ выбрали 1 вольт - это потенциал такой точки поля, при перемещении в которую заряда в 1 кулон из бесконечности в данную точку поля совершается работа в 1 джоуль.

Из формулы (1.20) видно, что при наложении электростатических полей потенциал в каждой точке результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из слагаемых полей.