Реальность спектра
см. Лосев с.18 и Финк с.17 и с.37
Спектр дискретных сигналов
До сих пор мы говорим о непрерывных
сигналах. Рассмотрим представление с
помощью спектров дискретных сигналов.
Решетчатая функция x(i),
записывается в виде обобщенного
дискретного ряда
(3)
по любым полным и ортогональным системам
решетчатых базисных функций (в дальнейшем
БФ)
.
При этом моменты отсчетов БФ должны
совпадать с моментами отсчетов
раскладываемых сигналов.
Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определяются уравнениями:
а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид
а
-
мощность БФ.
Для дискретных функций, удовлетворяющих условию
справедлива следующая формула для определения спектра
(4)
Формулы (3) и (4) представляют собой дискретные преобразования Фурье.
Число СБФ в дискретном ряде
совпадает с размерностью раскладываемой
решетчатой функции N.
В соответствии с этим дискретные ряды
Фурье (3,4) для сигналов с ограниченным
интервалом определения имеют конечный
характер, и дискретные функции
воспроизводятся с их помощью точно. Это
принципиально отличает их от непрерывных
разложений, где суммирование ведется
по бесконечному числу членов и которые
воспроизводят не саму функцию, а ее
копию, совпадающую с ней при
.
В ряде случаев дискретные преобразования удобно представить в матричной форме
,
(5)
,
(6)
где
Х – матрица - столбец из N-элементов (отсчетов сигнала)
С – матрица - столбец из N-элементов (спектральных коэффициентов)
- квадратная матрица (N*N)
отсчетов БФ:
-
квадратная матрица, обратная матрице
.
Для симметричных матриц матрицы и совпадают и выражения (5) и (6) становятся симметричными.
Рассмотренные преобразования Фурье сигналов, представляемых функциями одной переменной, можно распространить и на сигналы, описываемые функциями нескольких переменных.
Наряду с рассмотренными формами
представления сигналов для непрерывных
сигналов в теоретических исследованиях
часто применяется еще одна форма,
называемая интегральным представлением.
Эту форму можно получить как предельный
случай непрерывного представления (1)
заменой номера базисной функции n
непрерывной переменной
,
где F – конечный или
бесконечный интервал.
Тогда аналогом (1, 2) будут
(7)
(8)
Функция с(f)
называется интегральным преобразованием
сигнала x(t)
, а базисные функции
-
ядром интегрального преобразования.
В этом случае мы имеем сплошной спектр сигнала, который представляется спектральной плотностью X(f), размерность ее обратна размерности f.
Интегральное преобразование используют для ограниченных во времени (финитных сигналов), когда необходимо получить представление, справедливое для любых моментов времени.
Представление же непрерывных сигналов обобщенным рядом Фурье справедливо как для сигналов, не ограниченных во времени, так и для сигналов конечной длительности, но только на интервале ортогональности .
За пределами
сигнал конечной длительности
0,
так как он представляется суммой
и условно считается периодически
продолжающимся.
Выводы. Что нам дает спектральный подход?
Как известно из математики, Ньютон и Лейбниц для преодоления трудностей, связанных с интегрированием, выражали подынтегральную функцию в виде многочлена с бесконечным числом членов, то есть функциональным степенным рядом. Основной вывод, который мы делаем, также лежит в области ускорения (упрощения) всех процессов обработки сигналов.
Применение спектральной формы описания сигналов позволяет
перейти от исследования самих сигналов к рассмотрению координат этих сигналов относительно выбранного базиса. Операции над функциями заменяются операциями над числами, а последние легко реализуются на ЭВМ. Такой подход приводит к «алгебраизации» методов их расчета и проектированию систем связи и управления.
облегчить задачу анализа прохождения сложных сигналов через линейные цепи. Используя принцип наложения, для линейных систем можно записать:
Здесь L – линейный оператор преобразования.
аппроксимировать сигналы, процессы или характеристики, когда требуется свести к минимуму число членов ряда при заданной допустимой погрешности.
Наконец, именно спектральный подход позволяет решить в самом общем виде две задачи передачи сигналов – дискретизация и восстановление непрерывных сигналов.
Системы базисных функций
Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ, или, что одно и тоже, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация, и, что особенно важно, различная практическая реализация.
Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество, поскольку различных декартовых систем координат, повернутых относительно друг друга в многомерном пространстве, может быть построено бесконечное множество. В связи с этим поиск наиболее подходящих СБФ – серьезная математическая и практическая задача и поэтому имеет смысл дать краткий обзор некоторых известных СБФ.
Определим основные свойства ряда непрерывных и дискретных СБФ, заданных на конечных интервалах определения. При этом дискретные СБФ будем получать в основном дискретизацией известных непрерывных систем.