Системы единичных функций

а) Непрерывные СБФ

Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис ), приставленных друг к другу и заполняющих интервал Т будет ортогональной системой. Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени Δt. Если обозначить П(t) первый импульс, то можно записать

Задание. Докажите, что

Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала только при и .

Рис.

В этом случае СБФ превращается в систему единичных импульсов, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность.

К данной системе можно отнести также и интегральное представление, использующее в качестве базисных функций единичные импульсные функции – δ-функции:

Функция δ(x) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила распространение в математике, физике и технике.

Из ее определения следует

Таким образом с помощью δ-функции можно выразить значение реального сигнала x(t) в конкретный момент времени.

Так как по определению равна нулю на всей оси t , кроме точки t=τ (где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку τ. В этом промежутке x(t) принимает постоянное значение x(τ), которое можно вынести за знак интеграла..

В математике соотношение ( ) называется фильтрующим свойством δ-функции, в технике – стробирующее свойство.

Равенство ( ) справедливо для любого текущего момента t. Заменив в нем τ на t и приняв в качестве переменной интегрирования τ получим

Таким образом, функция x(t) выражена в виде совокупности примыкающих к друг другу импульсов бесконечно малой длительности.

б) Дискретные СБФ получаются дискретизацией систем непрерывных СБФ

. Система дискретных единичных функций имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

Такая система определена на целочисленном интервале . В дискретных системах этот импульс играет такую же роль, как аналоговый единичный импульс - δ-функция Дирака.

Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером k совпадает со значением сигнала в точке i=k его интервала определения:

Подобным свойством обладает и непрерывная система . Это свойство единичной системы позволяет проиллюстрировать взаимосвязь представлений сигнала во временной области к спектральной области. В соответствии с ним представление в области аргумента можно рассматривать как частный случай спектрального представления в единичном базисе. Это позволяет получать результаты во временной области, используя более общие результаты в спектральной области.

Системы тригонометрических базисных функций

а) Непрерывные СТБФ является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-π;π], либо [0, 2π]. Система является периодической и ненормированной.

Задание!______________________________________________________________________

Рассчитайте норму

Разложение периодической функции x(t) в ряд имеет вид:

или

где

Задание! Докажите равнозначность этих представлений.