1.4.3. Рекомендации для проведения текущего, итогового контроля и организации самостоятельной работы студентов

Этот курс излагается в педагогическом университете в 6 семестре. Основными формами проведения занятий являются лекции, практические занятия и самостоятельная работа. Текущий контроль в течение семестра осуществляется в виде математического диктанта, собеседование по реферату (для спец. «Информатика»), коллоквиума (для спец. «Математика») и самостоятельных работ аудиторного и внеаудиторного характера. Для осуществления текущего контроля в течение семестра предлагается проводить собеседование по основным разделам дисциплины и два математических диктанта: математический диктант №1 по теме: «Мощность множеств»; математический диктант №2 по теме: «Метрические пространства». По усмотрению преподавателя и студента может быть предложена индивидуальная работа.

Итоговый контроль в 6 семестре предполагается в форме:

- экзамен - у студентов очного отделения, обучающихся по специальности «Математика»;

- зачет - у студентов очного отделения, обучающихся по специальности «Информатика»;

- собеседование по контрольной работе и экзамен - у студентов заочного обучения.

В рамках самостоятельной работы студенты выполняют домашние задания, работают над рефератами по теме: «Функциональные пространства». Часть работы может быть организована с использованием электронных учебных пособий и различных учебных средств обучения (видео-, аудио-), например, при самоподготовке вопросов по теме «Компактные метрические пространства», «Сравнение интегралов Римана и Лебега». Материал курса может служить основой для курсовых работ по высшей математике.

Темы практических занятий

Замечание 1: преподаватель имеет право варьировать количество часов на изучение темы, в предложенной ниже тематике практических занятиях.

Замечание 2: темы некоторых занятий преподаватель может предложить студентам для самостоятельного изучения.

Занятие 1. Тема: Соответствия между множествами

Вопросы к началу занятия

1. Какое соответствие между двумя множествами называют взаимно однозначным соответствием?

2. Какое отображение множеств называют взаимно однозначным отображением?

3. Какие из множеств называют числовыми множествами?

4. Приведите примеры числовых множеств.

5. Какое числовое множество называют ограниченным?

6. Что называется точной верхней гранью множества; точной нижней гранью множества?

7. Какие множества называют плоскими; пространственными?

8. Какие дроби называют систематическими?

Занятия 2 – 3.

ТЕМА: Счетные множества. Мощность множеств

Вопросы к началу занятия

1. Какие множества называют конечными (бесконечными)?

2. Какие множества называют счетными (несчетными)?

3. Какие множества называют эквивалентными?

4. Перечислите все признаки эквивалентности множеств (теоремы Кантора – Бернштейна).

5. Какие множества имеют одинаковую мощность?

6. Приведите примеры счетных числовых множеств.

7. Какое множество называют множеством мощности континуума?

8. Какое множество называют множеством мощности гиперконтинуума?

9. Перечислите основные свойства счетных множеств.

10. Какое множество называют множеством мощности булеан?

Занятие 4.

ТЕМА: Метрика

Вопросы к началу занятия

1. Какое множество называют метрическим пространством?

2. Перечислите все аксиомы метрического пространства.

3. Какую функцию называют метрикой?

4. Приведите примеры метрических пространств.

5. В чем заключается суть неравенства Коши-Буняковского?

Занятие 5.

ТЕМА: Расстояние между функциями в метрическом пространстве

Вопросы к началу занятия

1. Назовите основные метрические пространства.

2. Как задается метрика в пространстве непрерывных на отрезке [a; b] функций:

3. Что называют максимумом функции?

4. Опишите алгоритм нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке.

5. Какую функцию называют бесконечно дифференцируемой на заданном отрезке?

6. Как вычисляется определенный интеграл вида: ?

7. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Занятие 6.

ТЕМА: Топология множеств в метрических пространствах

Вопросы к началу занятия

1. Какое множество точек метрического пространства называют окрестностью точки х ?

2. Перечислите все свойства окрестностей.

3. Какую точку из метрического пространства называют предельной точкой данного множества?

4. Какую точку из метрического пространства называют изолированной точкой данного множества?

5. Какую точку из метрического пространства называют граничной точкой данного множества?

6. Какую точку из метрического пространства называют точкой прикосновения данного множества?

7. Что называют замыканием множества?

8. Какое множество называют замкнутым?

9. Какое множество называют совершенным?

10. Какую точку из метрического пространства называют внутренней точкой данного множества?

11. Какое множество называют открытым?

12. Что называют расстоянием от точки до множества?

13. Что называют расстоянием между двумя множествами?

14. Какие множества называют плотными; всюду плотными; нигде не плотными?