Занятие 7. Тема: Линейные нормированные пространства

Вопросы к началу занятия

1. Какое пространство называют линейным?

2. Что называют нормой на линейном пространстве?

3. Пречислите все аксиомы нормы.

4. Какое постранство называют линейным нормиррованным пространством?

5. Запишите формулы для нормы в основных метрических пространствах: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Занятие 8-9 .

ТЕМА: Сходимость в метрических пространствах

Вопросы к началу занятия

1. Когда последовательность точек метрического пространства называют сходящейся?

2. Что называют пределом последовательности точек метрического пространства?

3. Какие нормы называют эквивалентными?

4. Перечислите свойства сходящихся последовательностей.

5. Какую последовательность точек метрического пространства называют фундаментальной?

6. Какое множество называют предельным множеством последовательности?

Занятие 10-11.

ТЕМА: Непрерывные отображения метрических пространств

Вопросы к началу занятия

1. Чно называют отображением одного метрического пространства в другое метрическое пространство?

2. Какое отображение называют непрерывным в точке? (Сформулируйте на языке “ ” и на “языке последовательностей”).

3. Какое отображение называют непрерывным (на множествеХ)?

4. Что понимают под образом и прообразом заданного отображения?

5. Какое отображение называют отображение-“на” либо отображение-“в”?

Занятие 12.

ТЕМА: Неподвижные точки отображения метрического пространства. Сжимающие отображения

Вопросы к началу занятия

1. Какие уравнения называют алгебраическими, функциональными, интегральными, дифференциальными?

2. Укажите некоторые способы решения выше перечисленных уравнений?

3. Какую из точек метрического пространства называют неподвижной точкой заданного отображения?

4. Какое отображение называют «отображением в себя»?

5. Какое отображение называют сжимающим отображением?

6. Какое число называют константой сжатия?

7. Приведите примеры сжимающих и несжимающих отображений пространства в себя.

8. В чем заключается принцип сжимающих отображений? (Теорема Банаха).

Занятие 13

ТЕМА: Полные метрические пространства

Вопросы к началу занятия

1. Какую последовательность называют фундаментальной последовательностью?

2. Перечислите свойства фундаментальных последовательностей.

3. Какое пространство называют полным?

4. Какое пространство называют банаховым пространством?

5. Перечислите основные свойства полных метрических пространств.

6. Приведите примеры полных метрических пространств.

Занятие 14.

ТЕМА: Мера Лебега

Вопросы к началу занятия

1. Какие из множеств называют открытыми (замкнутыми)?

2. Что называют линейной мерой открытого (замкнутого) множества?

3. Что называется внешней (внутренней) мерой множества?

4. Что называется мерой Лебега точечного множества?

5. Перечислите свойства линейной меры точечного множества.

6. Перечислите свойства внешней (внутренней) меры точечного множества.

7. Перечислите свойства меры Лебега точечного множества.

8. Какие множества называют измеримыми по Лебегу?

Занятие 15.

Тема: Измеримые функции

Вопросы к началу занятия

1. Какие множества называют имеримыми?

2. Перечислите основные свойства измеримых множеств.

3. Какие функции называют имеримыми?

4. Какие функции называют ограниченными?

5. Какие функции называют непрерывными?

6. Какие функции называют дифференцируемыми?

7. Какие множества называют замкнутыми (открытыми)?

8. Перечислите основные свойства измеримых функций.

Занятие 16-17.

ТЕМА: Интеграл Лебега

Вопросы к началу занятия

Какое множество называют измеримым по Лебегу?

Какие функции называют измеримыми по Лебегу?

Какое число называют мерой Лебега?

Что значит, функция интегрируема на измеримом множестве?

Какое число называется интегралом Лебега от функции по множеству?

Перечислите основные свойства интеграла Лебега.

Занятие 18.

ТЕМА: Скалярное произведение. Предгильбертово пространство. Неравенство Коши-Буняковского

Вопросы к началу занятия

1. Что называется метрикой пространства?

2. Что называется нормой пространства?

3. Что называют скалярным произведением элементов пространства?

4. Какое пространство называют линейным?

5. Какое пространство называют метрическим?

6. Какое пространство называют предгильбертовым?

7. Перечислите основные свойства предгильбертовых пространств.

8. Какое пространство называют евклидовым?

9. Приведите примеры предгильбертовых пространств.

10. Какие функции называют эквивалентными?

Занятие 19.

ТЕМА: Гильбертовы пространства. Ряд Фурье

Вопросы к началу занятия

1. Какие пространства называют предгильбертовыми?

2. Какое пространство называют полным?

3. Какое пространство называют ортонормированным?

4. Какое пространство называют евклидовым?

5. Какие пространства называют гильбертовыми?

6. Какие ряды называют рядами Фурье?

7. Как находятся коэффициенты ряда Фурье?

Занятие 20.

ТЕМА: Презентация рефератов и творческих отчетов по самостоятельной работе (или итоговая контрольная работа для студентов заочного отделения)

1.6. Примерная тематика курсовых работ по высшей математике

(для студентов очного отделения специальности «Математика»

с дополнительной специальностью «Информатика» и студентов заочного обучения)

Замечание: курсовая работа по ТФДП избирается лишь некоторыми студентми при выполнении курсовых работ по высшей математике на 3-курсе.

• Свойства счетных множеств.

• Свойства множеств мощности континуума.

• Мера Лебега на плоскости и в пространстве.

• Свойства интеграла Лебега.

• Сравнение интегралов Римана и Лебега.

• Топология метрических пространств.

• Применение рядов Фурье.

1.7. Тематика некоторых форм текущего контроля

• Математический диктант №1 по теме: «Мощность множеств» (для очного отделения)

• Математический диктант №2 по теме: «Метрические пространства» (для очного отделения)

• Контрольная работа по теме: «Мощность множеств. Метрические пространства» (для заочного отделения)

• Собеседование по реферату по теме: «Функциональные пространства»

• Коллоквиум . Тема: «Компактные метрические пространства. Сравнение интегралов Римана и Лебега»