2. Методи відокремлення коренів

Корінь рівняння , вважається відокремленим на відрізку , якщо на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів.

Відокремлення коренів – це розбиття області допустимих значень D(X) на відрізки, у кожному з яких міститься лише один корінь (рис. 1). Відокремлення коренів можна здійснити двома способами – графічним та аналітичним.

Рис. 1. Приклад розбиття області допустимих значень на відрізки з одним коренем

2.1. Графічний метод

Будують графік функції для рівняння виду або представляють рівняння у вигляді та будують графіки функцій та . Значення дійсних коренів рівняння є абсцисами точок перетину графіка функції з віссю Ох або абсцисами точок перетину графіків функцій та . Відрізки, що містять лише один корінь, легко знаходяться наближено.

Приклад 2.1.

Знайти наближено графічним способом корені рівняння .

Розв’язання. Перепишемо рівняння наступним чином: . Функції в лівій і правій частині рівняння мають спільну область визначення ( ₎. Тому будемо шукати корені саме на цьому інтервалі.

Будуємо графіки функцій та .

.

Рис. 2. Графічна інтерпретація прикладу 2.1.

Пряма перетинає логарифмічну криву в двох точках з абсцисами х₁ 0.00001 і х₂ 1.75.

2.2. Аналітичний метод

Аналітично корені рівняння можна відокремити, використовуючи властивості функцій за однією з розглянутих нижче теорем.

Теорема 1. Якщо функція неперервна на відрізку і приймає на кінцях цього відрізку значення різних знаків, то на відрізку існує хоча б один корінь рівняння .

Рис. 3 Графічна інтерпретація теореми 1.

Теорема 2. Якщо функція неперервна та монотонна (зростаюча чи спадна) на відрізку і приймає на кінцях цього відрізку значення різних знаків, то на відрізку існує хоча б один корінь рівняння .

Рис. 4 Графічна інтерпретація теореми 2

Теорема 3. Якщо функція неперервна на відрізку і приймає на його кінцях значення різних знаків, а похідна зберігає на ньому постійний знак, то відрізок мітить єдиний корінь рівняння .

Для відокремлення коренів аналітичним методом можна використати наступний алгоритм:

1. Визначити область допустимих значень.

2. Дослідити рівняння на монотонність і неперервність.

3. Визначити інтервали, на кінцях яких функція приймає значення протилежних знаків. Всередині цих інтервалів існує один корінь.

Приклад 2.2.

Відокремити корені рівняння x³+3x²-24x+1=0

Розв’язання.

1. D(x)= ( );

2. Визначимо першу похідну функції f(x):

f'(x)=3x²+6x-24>0; x₁=-4; x₂=2.

3. Відрізки , на яких функція змінює знак є наступними:

_{, ,} .

Наступним етапом дослідження рівняння на ЕОМ є етап уточнення значення кореня з заданою точністю на кожному відрізку.

3. Чисельні методи уточнення коренів

Для уточнення коренів нелінійного рівняння з заданою похибкою на відрізку на ЕОМ найбільш широко використовують:

• метод поділу відрізка навпіл (метод бісекції, дихотомії);

• метод хорд (метод пропорційних частин);

• метод дотичних (метод Ньютона);

• метод ітерацій (метод послідовних наближень).

Всі ці методи являються ітераційними, тобто побудовані на алгоритмах, в яких деяка частина повторюється багаторазово, при чому кількість повторень залежить від початкових даних (від заданої користувачем похибки, від відрізка дослідження та ін.).

Розглянемо особливості цих методів та алгоритмів, на яких вони базуються.