3.3. Метод Ньютона (метод дотичних)

Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, дуже широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Його популярність зумовлена тим, що на відміну від двох попередніх методів, замість інтерполяції по двох значеннях функції в методі Ньютона здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в одній точці.

Постановка задачі.Нехай маємо рівняння , де – неперервна монотонна нелінійна функція, яка на кінцях відрізку має різні знаки, причому похідні та неперервні та монотонні на відрізку . Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою .

Геометричний зміст (рис. 8, 9) метода Ньютона полягає в тому, що дуга кривої на відрізку замінюється дотичною до цієї кривої, а наближене значення кореня визначається як точка перетину дотичної з віссю Ох, проведеної з одного з кінців досліджуваного відрізку. Рівняння дотичної має вигляд:

. (14)

Рис. 8 – Геометричний зміст методу Ньютона:

а) функція, яка досліджується, ввігнута (f'(x)>0, f''(x)>0);

б) функція, яка досліджується, опукла (f'(x)<0, f''(x)<0).

Рис.9 – Геометричний зміст методу Ньютона:

а) функція, яка досліджується, опукла (f'(x)>0, f''(x)<0);

б) функція, яка досліджується, ввігнута (f'(x)<0, f''(x)>0).

При виборі початкового наближення кореня необхідно використовувати наступне правило: за початкову точку слід вибирати той кінець відрізка , в якому знак функції співпадає зі знаком другої похідної. В першому випадку f(b)f''(x)>0 і початкова точка x₀=b, а в другому f(a)f''(x)>0, тому x₀=а.

Процес побудови дотичної продовжується багаторазово доти, поки , де – задана точність обчислень; – наближені значення кореня рівняння , відповідно на (і+1)-му та і-му ітераційному кроках. На рис. 11 представлена схема алгоритму цього методу.

Рис. 10 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом дотичних

3.4. Метод ітерацій (метод послідовних наближень)

Одним з найбільш важливих способів чисельного розв’язання нелінійних рівнянь є метод ітерації. Іноді його називають методом послідовних наближень.

Суть цього методу полягає в наступному. Нехай потрібно визначити дійсні рівняння , де – неперервна функція. Замінимо рівняння рівносильним йому рівнянням:

. (15)

Оберемо яким-небудь способом наближене значення кореня х₀ і підставимо його в праву частину рівняння (15). Тоді отримаємо деяке число:

. (16)

Підставивши тепер в праву частину рівняння (16) замість х₀ число х₁, отримаємо нове число . Повторюючи цей процес, будемо мати послідовність чисел:

. (17)

Кожний дійсний корінь  рівняння (17) є абсцисою точки перетину М кривої з прямою (рис. 11).

Рис. 11 – Графічна інтерпретація методу ітерацій

Доведено, що ітераційний процес збігається до єдиного кореня рівняння , якщо на відрізку , що містить корінь, виконується умова:

. (18)

Збіжність процесу ітерації буде тим швидша, чим менше число q, яке задовольняє нерівності (18). Якщо умова (18) не виконується, необхідно так перетворити рівняння до виду , щоб добитися виконання даної умови. Наприклад, можна визначати функцію із співвідношення:

, (19)

де k – треба обирати так, щоб , де та знак k співпадає зі знаком на інтервалі .

Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, доки не буде виконуватися умова:

, (20)

де  – задана гранична абсолютна похибка кореня .

Рис. 11 – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння комбінованим методом ітерацій