4. Приклади розв’язування задач
Приклад 4.1
Методом дихотомії знайти з точністю до =10-3 корінь рівняння
,
який належить відрізку
.
Для зручності обчислення створимо таблицю 1.
Таблиця 1
n |
a |
b |
|
f(x0) |
0 |
0 |
1 |
0,5 |
–1,19 |
1 |
0,5 |
1 |
0,75 |
–0,59 |
2 |
0,75 |
1 |
0,875 |
0,05 |
3 |
0,75 |
0,875 |
0,8125 |
–0,304 |
4 |
0,8125 |
0,875 |
0,8438 |
–0,135 |
5 |
0,8438 |
0,875 |
0,8594 |
–0,043 |
6 |
0,8594 |
0,875 |
0,8672 |
0,0026 |
7 |
0,8594 |
0,8672 |
0,8633 |
–0,0211 |
8 |
0,8633 |
0,8672 |
0,8652 |
–0,0096 |
9 |
0,8652 |
0,8672 |
0,8662 |
–0,0232 |
10 |
0,8662 |
0,8672 |
0,8667 |
–0,0004 |
11 |
0,8667 |
0,8672 |
0,8669 |
0,0009 |
12 |
0,8667 |
0,8669 |
0,8668 |
0,0002 |
Довжина останнього відрізку:
.
Процес обчислення припиняємо і вважаємо, що шуканий корінь є
.
Приклад 4.2
Методом хорд уточнити з
точністю
корінь рівняння:
,
розташований на відрізку
.
Оберемо середину відрізку
,
тобто точку
.
Так як
,
а
,
то корінь знаходиться на відрізку
.
Для цього відрізку:
;
;
,
а
.
Отже,
.
Результати заносимо у таблицю 2.
Таблиця 2
n |
|
|
1 |
1 |
0,1899 |
1 |
1,1899 |
0.0096 |
2 |
1.1995 |
0.0019 |
3 |
1.2014 |
-0.0051 |
4 |
1.2001 |
-0.0001 |
5 |
1.2000 |
----- |
Із таблиці 3 видно, що
,
тому округлюючи х
до тисячних, отримаємо наближене значення
кореня
1.
Приклад 4.3
Знайти методом Ньютона від’ємний корінь рівняння
на відрізку
з точністю до
.
Результати обчислення розміщуємо в таблиці 3.
Таблиця 3
n |
|
|
|
|
0 |
–11 |
3453 |
–5183 |
0,7 |
1 |
–10,3 |
134,3 |
–4234 |
0,03 |
2 |
–10,27 |
37,8 |
–4196 |
0,009 |
3 |
–10,261 |
0,2 |
– |
– |
Процес обчислення завершуємо,
бо
.
х3
=-10.261 є шукане наближення кореня.
Приклад 4.4
Застосовуючи метод ітерації знайти корінь рівняння
,
який міститься на інтервалі
з похибкою
.
Рівняння перетворюємо до вигляду:
,
,
,
,
.
Знаходимо
,
очевидно
для всіх
.
Процес ітерації збігається.
За початкове наближення
візьмемо точку
.
Результати обчислення розміщуємо в
таблиці 4.4.
Таблиця 4
n |
|
|
0 |
-0.4 |
-0.4034 |
1 |
-0.42034 |
-0.41212 |
2 |
-0.41212 |
-0.41549 |
3 |
-0.41549 |
-0.41411 |
4 |
-0.41411 |
-0.41468 |
5 |
-0.41468 |
-0.41444 |
6 |
-0.41444 |
-0.41454 |
7 |
-0.41454 |
-0.4145 |
8 |
-0.4145 |
-0.41452 |
9 |
-0.41452 |
-0.41451 |
10 |
-0.41451 |
---------- |
Процес ітерації завершуємо
так як
.
дає шукане наближене значення кореня.