Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × Р(В),

Для зависимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × Р_А (В),

Рассмотрим законы распределения и характеристики случайных величин, используемые в теории надежности.

Под законом распределения случайной величины понимается всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Дискретная величина Х (например, число отказов, количество дефектных изделий и др.) может принять какие-то конкретные значения х_i c некоторой вероятностью Р_j, т. е.

Р(Х = х₁) = Р₁, Р(Х = х₂) = Р₂, Р(Х = х₃) = Р₃, Р(Х = х_n) = Р_n,

Так как рассматривается полная группа несовместных событий, то  Р_j=1.

Про случайную величину говорят, что она задана, если задан закон распределения.

Закон распределения случайной дискретной величины может быть задан аналитически, численно, графически.

Аналитически распределение задается в виде формулы.

В теории надежности используются несколько законов распределения случайных дискретных величин: биномиальное, распределение Пуассона, геометрическое и др.

Для случайной величины с биномиальным распределением функция распределения имеет вид

F(x) = P_n(k) = C_n^k p^k q^{n – k},

где k = 1,2,3,….n, P_n(k) – вероятность появления k событий в n испытаниях, C_n^k – число сочетаний из n по k, p – вероятность появления события в каждом испытании, q – вероятность непоявления события в каждом испытании.

Для случайной величины с распределением Пуассона, когда количество испытаний n велико, а вероятность p событий в каждом испытании мала, закон распределения имеет вид

P_n(k) = ^k e^- / k!,

где  = n p.

Численно закон распределения задается в виде таблицы, например такой

Х	0	1	2
Р	0,25	0,5	0,25

Графически закон распределения случайной дискретной величины изображается многоугольником распределения

В диапазоне изменения случайной непрерывной величины Х для каждого числа х существует определенная вероятность Р(Х  х), что Х не превосходит х. Зависимость

F(x) = Р(Х  х) =  f(x) dx

называется функцией распределения, интегральной функцией распределения или законом распределения случайной непрерывной величины Х.

Функция F(x) является неубывающей (монотонно возрастающей для непрерывных величин) функцией х. В пределах изменения случайной величины Х она меняется в пределах 0  F (x)  1.

Функция f(x) называется плотностью распределения. В задачах надежности она используется как плотность вероятности.

Плотность вероятности f (x) , связанная с функцией распределения соотношением

f (x) = d F (x) / dx,

называется дифференциальным законом распределения случайной величины.

В теории надежности используются, в основном, следующие характеристики дискретных и непрерывных случайных величин:

• математическое ожидание (среднее значение) -m_x,

а) для дискретных величин –

m_x =  p_i x_i,

б) для непрерывных величин –

m_x =  x f(x)dx

• дисперсия -D_x, (характеризует разброс случайной величины),

а) для дискретных величин –

D_x =  (x_i - m_x)²p_i,

б) для непрерывных величин –

D_x = (x - m_x)² f(x)dx

• среднее квадратическое отклонение - ,

 =  D_x

• коэффициент вариации v,

v =  / m_x

Исследование закономерностей изменения технического состояния автомобилей должно базироваться на основных вероятностных законах распределения наработок, которые определяют моменты возникновения отказов. Наработка является непрерывной случайной величиной.

В теории надежности автомобиля чаще всего пользуются следующими законами распределения наработок t : экспоненциальным, нормальным, логарифмически нормальным и распределением Вейбулла.