3.4.2. Площина в просторі. Основні задачі.

Кут між двома площинами. Умова паралельності

і перпендикулярності двох площин.

Нехай задані дві площини π₁ і π₂ :

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0

A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0.

Кут φ між двома площинами π₁ і π₂ визначається кутом між нормальними векторами ₁ = (А₁,В₁,С₁) и ₂ = (А₂,В₂,С₂) площин π₁ і π₂. Тому , або

. (3.24)

Для визначення гострого кута між двома площинами слід узяти модуль правої частини.

Якщо площини π₁ і π₂ перпендикулярно, то перпендикулярні і нормальні вектори ₁ і ₂, тобто ₁ ∙ ₂ = 0 або

А₁ А₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂ = 0. (3.25)

Отримана рівність (3.25) і є умова перпендикулярності двох площин.

Якщо площини π₁ і π₂ паралельні, то паралельні і нормальні вектори ₁ і ₂, тобто. ₁ = λ ₂ або

. (3.26)

Це і є умова паралельності двох площин π₁ і π₂.

Відстань від точки до площини.

Нехай задана точка М₀(х₀,у₀,z₀) і площина π своїм рівнянням

A x + B y + C z + D = 0. Вимагається знайти відстань від точки М₀ до площини π.

Відстань d від точки М₀ до площини π дорівнює модулю проекції вектору М₁М₀, де М₁(х₁,у₁,z₁) - довільна точка площини π, на напрям нормального вектору = (А,В,С) (рис. 3.13). Отже

= = .

Рис. 3.13.

Оскільки точка М₁(х₁,у₁,z₁) належить площині π, те Ах₁+Ву₁+Сz₁ + D = 0, тобто D = - Ах₁ - Ву₁ – Cz₁. Тому

d = . (3.27)

Це і є шукана відстань d від точки М₀ до площини π.

3.4.3. Рівняння прямої в просторі

Положення прямої в просторі цілком визначене, якщо задані точка М на цій прямій і вектор, паралельний прямій. Вектор називається направляючим вектором прямої.

Нехай в прямокутній системі координат задана точка М₀(х₀,у₀,z₀), яка належить шуканої прямої, а також направляючий вектор прямої l з координатами = (m,n,p). Визначити рівняння прямої l .

Виділимо довільну поточну точку прямий М(х,у,z) і розглянемо вектор , цей вектор паралельний направляючому вектору прямої. Тому координати вектора = (x - x₀, y - y₀, z - z₀) і вектора = (m,n,p) пропорційні

Рис. 3.14 . (3.28)

Рівняння (3.28) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.

Зауваження. Звернення в нуль одного зі знаменників рівнянь (3.28) означає звернення в нуль відповідного чисельника.

Наприклад, рівняння задають пряму, що проходить через точку М(2, - 4, - 1) перпендикулярно осі Оу (проекція вектора на вісь Оу дорівнює нулю). А це означає, що пряма лежить в площині у = - 4 і для усіх точок прямої у + 4 = 0.

Параметричне рівняння прямої.

Кожне із співвідношень рівнянь (3.28) прирівняємо деякому параметру t

= t

звідки слідують рівності

. (3.29)

Ці рівняння називаються параметричними рівняннями прямої в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай пряма проходить через дві точки М₁(х₁,у₁,z₁) и М₂(х₂,у₂,z₂), тоді в якості направляючого вектору шуканої прямої l можна узяти вектор = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) , тобто = (див. рис. 3.15).

Рис. 3.15

Отже m = x₂ - x₁, n = y₂ - y₁, p = z₂ - z₁, а оскільки пряма l проходить через точку М₁(х₁,у₁,z₁), те шукане рівняння прямої згідно (3.43) має вигляд:

. (3.30)

Отримане рівняння називається рівнянням прямої в просторі що проходить через дві точки.

Загальне рівняння прямої

Пряму в просторі можна задати як лінію перетину двох непаралельних площин

. (3.31)

Кожне з рівнянь (3.31) визначає площину. Якщо площини не паралельні (координати векторів ₁ (A₁ , B₁ , C₁) і ₂ (A₂ , B₂ , C₂) не пропорційні), то система (3.31) визначає пряму l як геометричне місце точок, координати яких задовольняють кожному з рівнянь системи (3.31). Рівняння(3.31) називають загальними рівняннями прямої.