3.4.4. Пряма лінія в просторі. Основні задачі
Кут між двома прямими. Умови паралельності
і перпендикулярності прямих
Нехай прямі l1 і l2 задані рівняннями
(l1),
(l2).
Під кутом між прямими l1 і l2 розуміють кут між направляючими векторами 1 (m1,n1,p1) и 2 (m2,n2,p2). Тому по відомій формулі для косинуса кута між векторами
або
.
(3.32)
Для визначення гострого кута між прямими l1 і l2 чисельник правої частини (3.47) слід узяти по модулю.
Якщо прямі l1 і l2 перпендикулярні, то cos φ = 0, або
m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0. (3.33)
Це співвідношення є умовою перпендикулярності двох прямих.
Якщо прямі l1 і l2 паралельні, то паралельні також їх направляючі вектори 1 (m1,n1,p1) і 2 (m2,n2,p2). Отже, координати цих векторів пропорційні:
.
(3.34)
Це співвідношення є умовою паралельності двох прямих.
Перетворення загальних рівнянь прямою до канонічної форми
Нехай задані рівняння прямої l в загальному вигляді (3.31), необхідно перетворити ці рівняння до канонічної форми
Координати точки М0(х0,у0,z0) на прямій l отримуємо з системи (3.31), надавши одній з координат довільне значення (наприклад z = 0).
Оскільки пряма l перпендикулярна нормальним векторам 1 (A1 , B1 , C1) и 2 (A2 , B2 , C2), то в якості направляючого вектору прямої l можна узяти вектор, визначуваний векторним добутком 1 2 , тобто
=
1
2
=
.
В результаті шукані канонічні рівняння прямої l мають вигляд:
.
(3.35)
3.4.5. Пряма і площина в просторі. Основні задачі
Кут між прямою і площиною. Умови паралельності
і перпендикулярності прямої і площини
Нехай рівняння прямої l і площини π задані рівняннями
, (l)
A x + B y + C z + D = 0 . (π)
Кут
між прямою і площиною визначатимемо як
кут між прямою і її проекцією на площину.
Позначимо через φ
кут між площиною π і прямою l,
а через θ
кут між векторами
(A
, B , C)
і
(m,n,p)
(див. рис. 3.14). Тоді
. Знайдемо синус кута φ,
вважаючи, що φ ≤
.
Рис. 3.14.
,
а
оскільки
,
те
отримаємо
.
(3.36)
Якщо пряма l паралельна площині π, те вектори і перпендикулярні і
∙ = 0, тому
A m + B n + C p = 0. (3.37)
Співвідношення (3.37) є умовою паралельності прямої і площини.
Якщо пряма l перпендикулярна площині π, те вектори і паралельні. Тому рівність
(3.38)
є умовою перпендикулярності прямої і площини.
Перетин прямої з площиною.
Нехай вимагається знайти перетин прямої l
(l )
з площиною π
A x + B y + C z + D = 0 (π).
Для цього необхідно розв‘язати систему рівнянь (l) + (π). Найпростіший розв‘язок цієї системи можна отримати, якщо записати рівняння прямої l в параметричному виді
.
Підставляючи ці вирази для x, y і z в рівняння (π) для площини, отримаємо лінійне рівняння відносно параметра t
.
Якщо пряма l не паралельна площині π, тобто якщо Am + Bn + Cp ≠ 0, то з попереднього виразу знаходимо значення параметра t :
.
(3.39)
В результаті з параметричних рівнянь прямої визначаємо координати точки перетину прямої l з площиною π.
Розглянемо тепер випадок, коли Am + Bn + Cp = 0 (l || π):
1) якщо G = A x0 + B y0 + C z0 + D ≠ 0, те пряма l паралельна площині π і її перетинати не може;
2) якщо G = A x0 + B y0 + C z0 + D = 0, рівняння (3.39) відносно параметра t ( 0 ∙ t + 0 = 0 ) задовольняється при будь-якому значенні параметра, тобто будь-яка точка прямої є точкою перетину прямої і площини. Таким чином, одночасне виконання рівностей
є умовою приналежності прямої l площини π.