3.5.2. Пряма лінія на площині. Основні задачі.

Кут між двома прямими і умова паралельності і

перпендикулярності двох прямих

Нехай прямі l₁ і l₂ задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами

у = k₁ x + b₁ (l₁) і у = k₂ x + b₂ (l₂) (див. рис. 3.18). Вимагається знайти кут φ між прямими l₁ і l₂ .

Розв‘язок. Маємо (по теоремі про зовнішній кут трикутника) або . Якщо , те .

Але, , , тому

, (3.46)

звідки легко отримати величину шуканого кута.

Якщо вимагається вичислити гострий кут між прямими, то права частина формули (3.46) береться по модулю .

Якщо прямі l₁ і l₂ паралельні, то φ = 0 і tg φ = 0. З формули (3.46) виходить k₂ - k₁ = 0, тобто k₂ = k₁.

• Отже, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів k₂ = k₁.

Якщо прямі l₁ і l₂ перпендикулярні φ = . З формули (3.46) виходить

1 + k₁ ∙ k₂ = 0, тобто k₁ ∙ k₂ = - 1.

• Таким чином, умовою перпендикулярності двох прямих є рівність k₁ ∙ k₂ = - 1 .

Відстань від точки до прямої

Нехай задані пряма l рівнянням А х + В у + С = 0 і точка М₀(х₀,у₀) (див. рис. (3.19). Вимагається знайти відстань від точки М₀ до прямої l.

Розв‘язок. Відстань d від точки М₀ до прямої l дорівнює модулю проекції вектору М₁М₀ , де М₁(х₁,у₁) - довільна точка прямої l, на напрям нормального вектора = (А,В). Отже

Рис. 3.19. = = .

Оскільки точка М₁(х₁,у₁) належить прямій l, те Ах₁ + Ву₁ + С = 0, тобто

С = - Ах₁ - Ву₁ . Тому

d = . (3.47)

Задачі для самостійного розв‘язку

1. Задані координати трьох точок трикутника АВС. Скласти рівняння площини АВС.

2. Знайти відстань точки М₀ (х₀, у₀, z₀) до площини .

3. Знайти рівняння прямій, яка проходить через точку паралельно прямій .

4. Знайти кут між площинами і .

5. Знайти рівняння прямій, яка проходить через точку паралельно вектору { а_х ; а_у ; а_z }.

6. Знайти кут між прямій та площиною .

7. Задані вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відомі), Знайти рівняння сторони АС цього трикутника.

8. Задані вершини трикутника АВС ( координати точок А, В і С відомі), Знайти рівняння медіани, яка проведена з вершини С цього трикутника.

9. Побудувати рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно к прямій .

10. Знайти кут між двома прямими

і .

11. Знайти точку перетину прямої з площиною Aх + Bу + Cz = D.

12. Знайти рівняння прямої в канонічної формі, якщо ії рівняння у загальному

вигляді є .

13. Знайти кут між двома прямими на площині і .

3.6. Криві і поверхні другого порядку

Розглянувши прямі на площини, які визначуються рівняннями першої степені, звичайно перейти до вивчення геометричних об'єктів, яким відповідають рівнянням другої степені.