3.6.1. Криві другого порядку на площині

Найзагальніше рівняння 2-ої міри з двома невідомими має вигляд

Ах² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0, (3.48)

при цьому передбачається, що хоч би один з коефіцієнтів А, В, С не дорівнює нулю. Лінії, що відповідають цьому рівнянню, називаються кривими 2-го порядку.

Простою такою кривою є коло. Нехай центр кола знаходиться в точці М₀(а, b) і радіус кола рівний R. Оскільки коло є безліч точок, що знаходяться на заданій відстані від центру М₀, то |М₀М| =R , або

(x - а)² + (у – b)² = R². (3.49)

З кривими 2-го порядку ми частково знайомі з шкільного курсу математики, це еліпс, гіпербола і парабола. Тепер розглянемо теорію кривих 2-го порядку із загальніших позицій і на підставі їх рівнянь встановимо деякі властивість цих кривих. Передусім дамо визначення цих трьох основних кривих, виведемо їх прості рівняння і дослідимо їх форму.

Визначення 3.16. Еліпсом називається множина точок (на площині), сума відстаней від яких до двох даних точок постійна.

Виберемо систему прямокутних декартових координат так, щоб вісь абсцис проходила через обидві задані точки F₁ і F₂, а початок координат знаходився в середині відрізку F₁F₂ (рис. 3.20).

Рис. 3.20 Рис. 3.21

Нехай М(х, у) одна з точок даної множини. Позначимо через 2с відстань між заданими точками F₁ і F₂ і через 2а задану суму відстаней F₁М і F₂M. Очевидно, що точка F₁ має координати ( -с, 0), а точка F₂ координати (с, 0).

За визначенням, маємо:

| F₁М | + | F₂M | = 2a , (3.50) звідси отримуємо рівняння

= 2a.

По суті це рівняння вже і є рівняння множини точок, що розглядається, Але воно має незручний для дослідження вигляд; перетворимо його до простішої форми.

,

,

,

,

.

Оскільки 2а > 2с (сума двох сторін трикутника більше 3-ої його сторони), то а²—с² > 0. Покладемо

а² - с² = b² .

Тоді остаточно у вибраній системі координат (див. рис. 3.21) отримаємо рівняння

. (3.51)

Вид цієї кривої представлений на рисунку 3.21. Точки F₁ і F₂ називаються фокусами еліпса, числа а і b півосями еліпса, точки перетину еліпса з його осями симетрії - вершинами еліпса.

Зі зміною с змінюється і форма еліпса. Якщо с прагне до нуля, тобто фокуси еліпса збігаються, то b наближається до а і еліпс стає колом з рівнянням х² + у² = а², тобто коло є частинний випадок еліпса, коли півосі еліпса рівні між собою.

Якщо ж с прагне до а, те прагне до нуля і, отже, еліпс стискається уздовж осі ординат. Значить, відношення с/а може служити мірою стискування еліпса, мірою його відхилення від кола.

Число е = з / а (0 ≤ е < 1) називається ексцентриситетом еліпса.

Визначення 3.17. Гіперболою називається множина точок (на площині), абсолютне значення різниці відстаней від даних двох точок постійні (і відмінна від нуля).

Систему координат виберемо так само, як при виведенні рівняння еліпса (рис. 3.22). З визначення маємо:

|| F₁М | - | F₂M || = 2a ,

,

,

,

.

Рис. 3.22.

Оскільки різниця двох сторін трикутника менше третьої його сторони, 2а > 2c. Покладемо с² - а² = b² . Тоді остаточно отримуємо

. (3.52)

Відмітимо деякі властивості гіперболи. Ця лінія симетрична відносно осей координат і відносно початку координат.

Оскільки у = , те для усіх точок кривої х ≥ а , тобто немає точок кривої в смузі -а < x < a. Отже, крива складається з двох окремих частин - віток гіперболи, одна з яких лежить в області х ≥ а, а інша - в області х ≤ - а (права і ліва вітка гіперболи).

Число а називається дійсною піввіссю гіперболи, число b уявною піввіссю. Точки перетину гіперболи з її віссю симетрії називаються вершинами гіперболи, точки F₁ і F₂ - її фокусами.

Відмітимо ще одну особливість форми лінії, що вивчається. Розглянемо разом з гіперболою дві прямі: у = , до яких як завгодно близько підходять точки віток гіперболи при . Ці прямі називаються асимптотами гіперболи. Легко бачити, що асимптоти гіперболи спрямовані по діагоналях прямокутника із сторонами 2а і 2b (див. рис. 3.18).

Третьою основною кривою 2-го порядку є парабола.

Визначення 3.18. Параболою називається множина точок (на площині), рівновіддалених від заданої точки і заданої прямої.

Виберемо вісь абсцис прямокутної декартової системи координат так, щоб вона проходила через задану точку F перпендикулярно до заданої прямої l, початок координат нехай знаходиться в середині відрізку FK (рис. 3.23). Напрям осі абсцис вказаний на малюнку.

Рис. 3.23

Відстань від точки Р та прямій l позначивши через р. Тоді точка F матиме координати: (р/2, 0), а рівняння прямої l : х = - p/2.

Нехай М(х, у) – довільна точка, яка розташована на параболі і А - основа перпендикуляра, опущеного з М на l.

Оскільки точка А має координати(- р/2, у) і за визначенням |АМ|=|FM|, те , (х + р/2)²=(х - р/2)² + у²,

і остаточно

. (3.53)

Відмітимо деякі властивості параболи. Оскільки y² ≥ 0, то х не може бути від‘ємним і усі точки кривої лежать в правій на півплощині. При зростанні х від 0 до + ∞ | у | необмежено росте. Ясно також, що крива симетрична відносно осі абсцис.

Задана точка F називається фокусом параболи, точка перетину параболи з її віссю симетрії - вершиною параболи.