16. Степенные ряды. Теорема абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов внутри интервала сходимости

Основные вопросы

Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Определение радиуса сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Формулы Даламбера и Коши для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

[2], гл. 1, § 4, пп. 1, 2.

[4], гл. 4, § 37, пп. 1, 4.

[6], гл. 6, § 3, п. 272- 276.

[8], гл. 31, § 3.

[9], гл. 4, §§ 14, 15.

17. Ряд тейлора. Теорема о разложении функции в ряд тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций

Основные вопросы

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (без вывода).

Определение ряда Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора. Достаточное условие. Разложение в ряд Тейлора функций , .

[2], гл. 1, § 5, пп. 1, 2.

[4], гл. 4, § 37, пп. 5-7.

[6], гл. 15, § 6, пп. 252, 253.

[8], гл. 22, §§ 1, 3-5.

[9], гл. 1, § 4, § 5, пп. 1, 2, 4-6.

18. Действительная функция n действительных переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Условия дифференцируемости

Основные вопросы

Определение предела и непрерывности функции действительных переменных как функции на метрическом пространстве Rⁿ . Единственность предела, арифметические свойства предела функции и непрерывных функций.

Определение частных производных, дифференцируемости и дифференциала. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.

[1], гл. 14, § 2, п. 3, § 3, § 4, пп. 1-3.

[3], гл. 2, § 19, пп. 1-3, § 20, пп. 1, 2, 5.

[5], гл. 8, § 1, п. 129, § 2, п. 132; гл. 9, § 1, пп. 138, 139, 142.

[7], гл. 14, §§ 1-3; гл. 15, §§ 1, 2, 4; гл. 16, §3.

19. Определение и условия существования двойного интеграла, геометрический смысл. Основные свойства и способ вычисления двойного интеграла

Основные вопросы

Задача об объеме цилиндрического бруса. Определение и геометрический смысл двойного интеграла.

Критерий интегрируемости. Существование двойного интеграла от непрерывной функции. Свойства двойного интеграла (линейность и аддитивность). Теорема о среднем.

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

[2], гл. 2, §§ 1-3, 5.

[4], гл. 6, § 45, п. 1.

[6], гл. 21, § 1, пп. 336-341, § 2, пп. 343-344.

[8], гл. 17, §§ 2-6.

20. Криволинейный интеграл по координатам. Формула грина-остроградского. Приложение к вычислению площадей плоских фигур

Основные вопросы

Определение криволинейного интеграла второго рода, условие существования и физический смысл. Основные свойства: линейность, аддитивность, зависимость от направления.

Формулы вычисления криволинейного интеграла: для кривых, заданных параметрически, и для кривых, заданных явным уравнением или .

Формула Грина-Остроградского. Формула вычисления площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.

[2] гл. 4, §§ 1, 2; гл. 7, § 1.

[4] гл. 6, § 47, пп. 2-6.

[6] гл. 20, § 2, пп. 330, 331; гл. 21, § 3.

[8] гл. 19, §§ 3-5, § 7, п. 2.