- •Программа государственного экзамена по математике,
- •Математический анализ
- •2. Подпоследовательность. Фундаментальные последовательности. Теорема больцано-вейерштрасса. Критерий коши
- •6. Производная функции, геометрический и механический смысл. Арифметические свойства производной, производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций
- •8. Исследование функций с помощью производной: условия постоянства и монотонности функции, экстремумы, условия существования, выпуклость и перегиб
- •9. Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Интегрирование подстановкой и по частям
- •10. Определенный интеграл. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной и монотонной функции
- •13. Числовые ряды. Признаки сходимости положительных рядов
- •14. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Признак лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •15. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак вейерштрасса
- •11. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула ньютона-лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
- •12. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин кривых, объемов тел вращения и площадей поверхностей вращения
- •16. Степенные ряды. Теорема абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов внутри интервала сходимости
- •17. Ряд тейлора. Теорема о разложении функции в ряд тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций
- •18. Действительная функция n действительных переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость и дифференциал. Условия дифференцируемости
- •19. Определение и условия существования двойного интеграла, геометрический смысл. Основные свойства и способ вычисления двойного интеграла
- •20. Криволинейный интеграл по координатам. Формула грина-остроградского. Приложение к вычислению площадей плоских фигур
- •21. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
- •22. Метрические и линейные нормированные пространства. Множества в метрических пространствах. Полные метрические пространства
- •23. Функция комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •24. Интегрирование функции комплексного переменного
- •25. Степенные ряды на комплексной плоскости. Ряд тейлора. Ряд лорана
- •Алгебра, теория чисел
- •1. Бинарные отношения, отношение эквивалентности и разбиение множества на классы, фактор-множество. Основные вопросы
- •2.Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп.
- •3.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Критерий подкольца. Изоморфизм колец.
- •4.Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Принцип математической индукции.
- •5.Поле. Примеры полей. Простейшие свойства поля. Подполе. Критерий подполя. Изоморфизм полей.
- •9.Теорема о делении с остатком для многочленов. Схема горнера. Теорема безу.
- •10.Корни многочлена. Основная теорема алгебры и следствия из нее. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены. Формулы виета.
- •15.Отношение сравнимости по модулю в кольце целых чисел. Полная и приведенная системы вычетов. Функция эйлера и ее вычисление. Теоремы эйлера и ферма.
- •Геометрия
- •1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Приложения к решению задач.
- •2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположениt прямых на плоскости.
- •5.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
- •6.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости
- •Углубленное изучение математики: содержание, приемы и формы организации обучения.
- •Методика изучения числовых систем (натуральные и дробные числа).
- •Математические выражения и тождественные преобразования в школьном курсе математики.
- •Уравнения и неравенства в школьном курсе математики.
- •Методика изучения функции в 10-11 классах.
- •Логическое строение школьного курса геометрии.
- •Методика изучения темы "Многоугольники".
- •Методика изучения темы "Многогранники".
- •Методика изучения темы "Тела вращения".
- •Педагогика
- •1. Педагогика как наука. Целостность педагогического процесса. Методы научно-педагогического исследования.
- •2. Факторы развития личности, становления индивидуальности. Половозрастные особенности школьников и их учет в деятельности учителя.
- •3. Дидактика как теория обучения. Движущие силы и закономерности обучения.
- •4. Принципы и методы обучения.
- •5. Содержание образования как фундамент базовой культуры личности.
- •6. Способы и системы обучения.
- •7. Формы организации учебной работы учащихся.
- •8. Формы организации учебной деятельности учащихся на уроке. Средства обучения.
- •9. Педагогическая диагностика. Методы педагогического диагностирования.
- •10. Педагогические технологии и инновации в образовании.
- •11. Социализация личности. Сущность воспитания и его место в целостной структуре образовательного процесса.
- •12. Принципы и методы воспитания. Технология воспитания. Воспитательная система.
- •13. Национальное своеобразие, содержание и проблемы воспитания. Уровень воспитанности.
- •14. Формы организации воспитательного процесса. Средства воспитания.
- •15. Школьный коллектив как объект и субъект воспитания.
- •Литература
- •Проект Федерального закона Российской Федерации "Об образовании в Российской Федерации" url: http://www.Rg.Ru/2012/01/17/obrazovanie-site-dok.Html. 20.04.12
- •Комментарий к Проекту закона "Об образовании в Российской Федерации" url: http://www.Rg.Ru/2012/01/17/obrazovan.Html. 20.04.12
Алгебра, теория чисел
1. Бинарные отношения, отношение эквивалентности и разбиение множества на классы, фактор-множество. Основные вопросы
Декартово (прямое) произведение множеств. Бинарные отношения, их свойства – рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность, связность. Примеры. Отношение эквивалентности. Разбиение множества на непересекающиеся классы. Критерий отношения эквивалентности. Фактор-множество, естественное отображение. Примеры из алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа, школьного курса математики.
1, Гл.1, § 2. 5 ], Гл.2. §2 ,4
13, § 1 6], Гл.1. § 6
2.Группа. Примеры групп. Простейшие свойства групп.
Основные вопросы.
Определение бинарной операции. Аддитивная и мультипликативная форма записи операции. Свойства бинарной операции – ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального (единичного, нулевого) и симметричного (противоположного, обратного) элементов. Подгруппа и моноид. Определение группы. Примеры групп (числовых и нечисловых, конечных и бесконечных, абелевых и неабелевых). Простейшие свойства групп – обобщенный закон ассоциативности; единственность нейтрального, симметричного элементов; выполнимость обратной операции.
2, Гл.1, § 1-5. 13 ], §2
6, Гл.4, § 1,2
5, Гл.3 §1.3; Гл.10, § 1
3.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Критерий подкольца. Изоморфизм колец.
Основные вопросы
Определение кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца (единственность нулевого и противоположного элементов, выполнимость вычитания).Аддитивная группа кольца. Определение и критерий подкольца. Фактор-кольцо. Определение гомоморфизма и изоморфизма колец, их простейшие свойства. Ядро гомоморфизма, его основное свойство. Естественный гомоморфизм. Теорема об эпиморфизмах для колец.
2, Гл.1, § 6 5 ], Гл.3, §12,4
3, Гл.2, § 1,2,3 13], § 3
6 ], Гл.4, §3.
4.Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Основные вопросы
Аксиомы Пеано для N. Операции сложения и умножения на множестве натуральных чисел, их свойства. Сравнение натуральных чисел. Принцип математической индукции.
1, Гл.1, § 6 7 ], Гл.2, §1-6
6, Гл..1 §7 13], § 4
5, Гл.4, §1-3
5.Поле. Примеры полей. Простейшие свойства поля. Подполе. Критерий подполя. Изоморфизм полей.
Основные вопросы
Определение поля. Примеры полей (бесконечных и конечных). Простейшие свойства поля. Характеристика поля. Подполе – определение и критерий. Определение изоморфизма полей, примеры.
2, Гл.1, § 6,7
13], § 7
5, Гл.4, §5
6, Гл..4 §3
6.ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПРИМЕРЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ. ПОДПРОСТРАНСТВО. КРИТЕРИЙ ПОДПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. БАЗИС И РАНГ КОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.
Основные вопросы
Определение векторного пространства над полем. Примеры. Арифметическое векторное пространство. Простейшие свойства векторных пространств. Определение и свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов, их нахождение.
2, Гл.2, § 1,2
13, §10
5, Гл..7, §1
8, Гл. 8 ,§44
7.СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ (МЕТОД ГАУССА). КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (КРИТЕРИЙ КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ). ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Основные вопросы
Основные понятия системы линейных уравнений-определения:решения, совместной, несовместной, определенной, неопределенной, однородной, неоднородной системы. Следствие системы уравнений. Равносильные системы уравнений и элементарные преобразования системы. Строчечный и столбцовый ранг матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Решение системы методом последовательного исключения переменных – методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме. Формулы Крамера.
8], Гл.6 §34,36
13, §12
5, Гл.5, §2,3
8.МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НАД ПОЛЕМ. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ И АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. НЕПРИВОДИМЫЕ И ПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА В ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ.
Основные вопросы.
Многочлены от одной переменной над полем. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Сумма и произведение многочленов. Наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух многочленов. Наименьшее общее кратное двух многочленов, его нахождение. Неприводимые над полем многочлены. Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и его единственность.
4, Гл.1, § 1,2
6, Гл.5, §2,3 13], § 15
5, Гл.14 §1,2 8, Гл.2, §7,8,9