21. Мощность множества. Счетные множества и их свойства. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
Основные вопросы
Определение равномощности множеств. Понятие мощности. Определение счетных множеств и их свойства: счетность конечного или счетного объединения счетных множеств, существование счетного подмножества в бесконечном множестве. Теорема о счетности множества рациональных чисел Q. Теорема о несчетности множества действительных чисел R. Определение множества мощности континуума.
[11], гл. 1, § 1, пп. 1, 2, § 2.
[15], гл. 1, §§ 5, 6, 9.
[16], гл. 1, §§ 2, 3.
22. Метрические и линейные нормированные пространства. Множества в метрических пространствах. Полные метрические пространства
Основные вопросы
Определения метрических и нормированных пространств, их связь. Примеры: пространства Rn , C[a,b].
Определения открытых, замкнутых, ограниченных и неограниченных множеств. Определение области. Внутренние, внешние, граничные и предельные точки. Теоремы об объединении и пересечении (конечного числа и счетной совокупности) открытых и замкнутых множеств.
Предел последовательности в метрическом пространстве. Единственность предела. Определения фундаментальной последовательности и полного метрического пространства. Теоремы о полноте пространств Rn.
[11], гл. 2, §§ 5, 6, 8, § 9, пп. 1, 3, 4, § 13, пп.1, 2.
[15], гл. 2, §§ 5, 6, гл. 7, §§ 1-3.
[16], гл. 2, §§ 1-3, гл. 8, § 1.
23. Функция комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции. Основные элементарные функции комплексной переменной
Основные вопросы
Определение функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Предел функции комплексного переменного в точке и его свойства. Непрерывность и свойства непрерывных функций комплексного переменного.
Производная функции комплексного переменного. Связь дифференцируемости и непрерывности. Условие дифференцируемости Коши-Римана. Определение аналитической функции.
Определение функций
и их основные свойства (перечислить).
Формулы Эйлера.
[8], гл. 23, §§ 1, 4-6; гл. 24, §§ 2, 6.
[10], гл. 1, § 2, пп. 1-4, § 3, пп. 1, 2.
24. Интегрирование функции комплексного переменного
Основные вопросы
Понятие интеграла по кусочно-гладкой кривой от функции комплексного переменного, его вычисление и основные свойства: линейность, аддитивность, зависимость от направления интегрирования. Интегральная теорема Коши. Первообразная функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши.
[10], гл. 2, § 5, пп. 1-3, гл. 3, § 7, § 8, пп. 1-3, § 9, пп. 1.
[14], гл. 2, § 3, пп. 1-3, 5, гл. 4, § 1, пп. 1, 2, § 2, пп. 1-5, § 3, пп. 1, гл. 5, § 2, пп. 1-3.
25. Степенные ряды на комплексной плоскости. Ряд тейлора. Ряд лорана
Степенной ряд, его радиус сходимости. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Лорана, его область сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Изолированные особые точки и их классификация.
[10], гл. 2, § 8, пп. 1-3, § 9, пп. 1, гл. 3, §§ 10.
[14], гл. 5, § 2, пп. 1-3, гл. 6, §§ 1, 2.
ЛИТЕРАТУРА
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. – М.: Наука, 1982.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.2. – М.: Наука, 1980.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Высшая школа, 1981.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. – М.: Высшая школа, 1981.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1960.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2. – М.: Наука, 1964.
Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.1 – М.: Просвещение, 1972.
Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.2 – М.: Просвещение, 1972.
Виленкин Н.Я. и др. Ряды. – М.: Просвещение, 1982.
Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985.
Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. – М.: Просвещение, 1980.
Виленкин Н.Я., Доброхотов М.А., Сафонов Г.Н. Дифференциальные уравнения. – М.: Просвещение, 1984.
13. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
14. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Высшая школа, 1999.
15. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. – М.: Просвещение, 1968.
16. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. – М.: Наука, 1968.