6 Случайные погрешности

Вероятностно-статистические характеристики

Результаты измерений неизбежно содержат случайные погрешности, действие которых непредсказуемо. Поэтому результаты измерений рассматриваются как случайные величины с применением теории вероятностей.

Случайной величиной называют величину, которая в результате опыта принимает значение заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. При проведении измерений внимание уделяется закономерностям случайных явлений, которые обладают относительной устойчивостью в их массовом проявлении. Случайное событие называется массовым, если может появиться в результате испытаний, которые могут быть повторены любое число раз при одних и тех же условиях. Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными (аналоговыми). Возможные значения дискретных случайных величин отделимы друг от друга и поддаются счету. Возможные значения непрерывных случайных величин неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал значений. Даже в любом конечном интервале непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество значений.

Массовое случайное событие  результат многократных измерений  может быть охарактеризовано абсолютной частотой, относительной частотой, распределением вероятностей и функцией распределения вероятностей.

Абсолютная частота m_ί  число появлений одного и того же события (результата измерений).

Относительная частота  доля конкретного события (конкретного значения результата измерений) в общем числе событий (далее  результатов измерений). Относительная частота является показателем вероятности P_ί дискретного результата измерений:

P_ί= (3.1)

Распределение вероятностей представлено на рисунке 3.1.

В ероятность Pί
	Значение результатов измерений Qί

Рисунок 3.1 – Дискретное распределение вероятностей

Функция распределения вероятностей F(Q) является функцией накопленных относительных частот:

F(Q)= (3.2)

Дискретная функция распределения вероятности представлена на рисунке 3.2.

Результат измерений при непрерывном отсчете описывается плотностью вероятности р(Q_ί) текущего значения Q (рисунок 3.3, а) и функцией распределения вероятностей F(Q) (рисунок 3.3, б):

(3.3)

Ф 1 ункция распределения вероятностей F(Qi)
	Значения результатов измерений Qi

Рисунок 3.2 – Дискретная функция распределения вероятностей F(Q_ί)

П лотность вероятности P(Q)
	Результаты измерений Q б) Результаты измерений Q a)

Рисунок 3.3 – Эмпирические плотность вероятностей (а), функция распределения вероятностей (б)

Функция распределения вероятностей определяет вероятность того, что отдельный результат измерения Q при однократном измерении примет значение меньшее её аргумента. Чем больше результат измерения Q, тем больше вероятность того, что ни один результат измерений не превысит этого значения, т.е. F(Q)  неубывающая функция.

F(Q₂)≥F(Q₁), если Q₂>Q_1. При изменении Q от -∞ до +∞ F(Q) изменяется от 0 до 1.

Результат измерений Q меньше некоторого Q₁ c вероятностью F(Q₁) и меньше Q₂ с вероятностью F(Q₂). Причем Q₂>Q_1. Тогда вероятность того, что результат измерений окажется в интервале значений от Q₁ до Q₂:

(3.4)

или

(3.5)

При расширении интервала интегрирования до бесконечности рассматриваемое событие становится достоверным, поэтому площадь, ограниченная графиком функции распределения плотности вероятности для любого закона распределения и осью абсцисс, равна 1:

=1 (3.6)

Числовые (точечные) характеристики

Вероятностные характеристики результатов измерений являются наиболее полными, но не всегда удобны, а также не всегда достижимы, т.к. для их получения необходимо большое число экспериментальных данных. Поэтому чаще используют числовые характеристики через начальные и центральные моменты.

Начальные моменты получают усреднением значений относительно начала координат по правилу:

= , (3.7)

где r – номер (порядок) момента;

х – случайная величина (результат измерений).

Первый начальный момент характеризует математическое ожидание отсчета при бесконечном повторении процедуры сравнения (измерения):

М(х)= (3.8)

Для дискретных результатов измерений:

М(х)  = (3.9)

где  среднее арифметическое значение;

х_ί  ί-й результат измерений;

P_ί  вероятность появления ί-го результата;

n  число результатов измерений;

P_ί= (3.10)

где m_ί  абсолютная частота ί-го результата.

Тогда

(3.11)

М(х) так же как характеризует центр группирования результатов многократных измерений.

Центральные моменты получают усреднением значений относительно центра распределения, т.е. относительно математического ожидания или среднего арифметического значения, по правилу:

(3.12)

Второй центральный момент называется дисперсией D(х) и характеризует разброс экспериментальных данных относительно центра распределения.

D(x)= (3.13)

Для дискретных величин

D(x)= (3.14)

Часто в качестве характеристики разброса результатов измерений используется среднее квадратическое отклонение (СКО)- :

(3.15)

-является смещенной оценкой СКО.

Если из общего числа данных при усреднении исключается одно значение, совпадающее с центром распределения, то такая оценка СКО является несмещенной:

(3.16)

Если каждый из результатов измерений встречается не более одного раза, то соответственно числовые характеристики определяются по формулам:

- среднее арифметическое значение:

; (3.17)

- СКО:

(3.18)

Упрощенный расчет дисперсии можно выполнить по свойству дисперсии:

D(x)=M(x²)-M²(x) (3.19)

Третий центральный момент используется для характеристики асимметричности кривой распределения плотности вероятности. Асимметрия определяется по формуле:

= (3.20)

Четвертый центральный момент используется для расчета эксцесса, характеризующего заостренность кривой распределения плотности вероятности:

ν (3.21)

Характеристики с использованием центральных моментов приведены на рисунке 3.4.

К числовым характеристикам также относятся мода и медиана. Модой М_о называется наиболее вероятное значение результата измерений. Мода соответствует абсциссе точки максимума кривой распределения плотности вероятности, как показано на рисунке 3.5.

Медиана М_l –это значение результата измерений, относительно которого равновероятно, что результат измерений окажется меньше или больше медианы:

Р(х < М_l)=Р(х > М_l)=0,5 (3.22)

На рисунке 3.5 медианой является значение абсциссы перпендикуляра к оси абсцисс, относительно которого площадь под кривой распределения плотности вероятности делится пополам.

Для симметричных распределений все три характеристики – математическое ожидание, мода и медиана  совпадают.

Рисунок 3.4  Числовые характеристики результатов измерений

а).СКО и эксцесс; б).асимметрия

Рисунок 3.5 – Математическое ожидание, мода, медиана

Интервальная характеристика

При повторных измерениях одного и того же размера могут быть получены различные значения. Это объясняется действием случайных погрешностей. Это действие оценивается вероятностным разбросом результатов многократных измерений в виде доверительного интервала.

Доверительный интервал представляет собой интервал значений, в пределы которого входит измеренный размер с доверительной вероятностью. Доверительный интервал определяется по формуле:

, (3.23)

где n  число измерений;

 среднее арифметическое значение результата измерений;

S  СКО результата измерений:

(3.24)

t_p – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р.

Значение доверительной вероятности задается до начала измерений и обычно равно 0,95. Другие её значения специально оговариваются.