Отчет по лабораторной работе № 4 «Изучение свойств и характеристик функции полезности Стоуна и функции спроса»

по курсу Моделирование микроэкономических процессов и систем

Студент ________________________

Группа _________________________

Порядковый номер студента_______

Москва, 20__.

Общий вид функции полезности Стоуна двух переменных:

u(x₁,x₂):= a₀(x₁–x₁₀)^a1(x₂–x₂₀)^a2.

Условия варианта:

а₀=____ , а₁=_____ , а₂=_____ , х₁₀=______ , х₂₀=_______ .

Аналитическое исследование Свойства фп Стоуна

Функция и(x) определена на множестве векторов x, таких что каждая компонента этого вектора больше соответствующего x_io .

1. Если увеличить объем блага, то полезность не уменьшится.

М атематически это выражается в неотрицательности первой производной:

При положительных a₀ и a₁ и превышении объемов благ нижней границы производная положительна. Аналогично по x₂. Значит, функция монотонно возрастает на своей области определения и не имеет стационарных точек.

2. Темп возрастания полезности каждого блага замедляется, если его количество растет.

Необходимое условие выполнения данного свойства – неположительность вторых производных.

Это выполняется при a₁ <___. Аналогично для другой второй производной.

3. Полезность дополнительной единицы каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается дефицитным. Математически: .

Для заданной функции

Если коэффициенты а₁ и а₂ ненулевые (в противном случае функция перестает быть функцией двух аргументов), то это свойство выполняется.

В заключение исследования свойств заметим, что ФП Стоуна является однородной при условии, что пороговые значения изменяются в той же пропорции, что и благо:

Характеристики фп Стоуна

1. Средняя полезность

,

Функция Р_х существует везде в области определения ФП и непрерывна. Рассмотрим первую производную:

.

Для заданной функции полезности имеем:

.

Приравняв производную нулю и сократив на общие множители (в предположении , получим

Отсюда находим критическую точку: .

Является ли данное решение точкой максимума, минимума или точкой перегиба можно выяснить по знаку второй производной в данной точке. Решение данного вопроса мы проведем позже – графически.

При увеличении количества продукта до бесконечности, средняя полезность будет стремиться к нулю, поскольку числитель в выражении Р_х растет медленнее, чем знаменатель.

Необходимо отметить, что средняя полезность — положительная величина.

2. Предельная полезность .

Так как a₁-1 < 0 р₁ будет гиперболически убывать с ростом х₁, подтверждая закон понижающейся предельной полезности и уходить на бесконечности в 0. Предельная полезность — положительная величина.

3. Эластичность полезности .

.

Из последнего выражения видно, что Е₁ представляет собой убывающую гиперболу с горизонтальной асимптотой, равной а₁.

4. Средняя норма замены продукции (блага) .

Выразим х1 как функцию от х2 из уравнения для кривой безразличия

и подставим в выражение для Н₁₂:

.

Поскольку Н₁₂ есть произведение двух монотонно убывающих по х₂ функций, средняя норма замены монотонно убывает, стремясь к нулю.

5. П редельная норма замены.

Видно, что предельная норма замены будет положительна; она, как степенная функция с отрицательным показателем и постоянным положительным коэффициентом справа, будет гиперболически убывать на области определения ФП Стоуна.

6. Э ластичность замещения.

О тсюда

В связи с тем, что аналитическое исследование этой функции затруднено из-за ее громоздкости, эластичности замещение будет уделено особое внимание при численном исследовании.