4. Решение матричных уравнений

Матричные уравнения представляют собой, как правило, систему линейных алгебраических уравнений типа и решаются путем обращения матрицы коэффициентов .

Рисунок 7.4 – Решение матричного уравнения путем обращения матрицы коэффициентов

_{Самостоятельно выполните задания, приведенные в Приложении 10 (номера заданий необходимо согласовать с преподавателем).}

5. Решение системы линейных уравнений Методом Крамера

В математике, физике, экономике и т. д. есть задачи, которые сводятся к решению систем линейных уравнений. Систему вида

Систему можно записать в матричной форме

.

Один из способов решения систем линейных уравнений является способ решения по формулам Крамера

,

где det A = |A|– определитель матрицы А системы (главный определитель),

det Ai = |Ai| (i = 1, 2, …, n)– определители матриц Ai (вспомогательные определители), которые получаются из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B. Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det A=0.

Рассмотрим решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера.

Задание 7. Дана система уравнений.

Найти значения трех неизвестных в данной системе.

Решение:

1. Запишите вспомогательные матрицы для рассматриваемой системы, которые имеют следующий вид (рисунок 7.5).

Рисунок 7.5 – Вспомогательные матрицы для рассматриваемой системы

2. По формулам Крамера находится решение системы.

Рисунок 7.6 – Вычисление системы методом Крамера

Сохраните полученный файл в своей папке под именем Задание_7.

_{Самостоятельно выполните задания, приведенные в Приложении 11 (номера заданий необходимо согласовать с преподавателем).}

8. Комплексные числа

_{Комплексные числа можно записывать в любой математической форме:}

• _{обычной (в виде суммы действительной и мнимой частей) ;}

• _{в тригонометрической форме ;}

• _{в экспоненциальной форме .}

_{Для ввода мнимой единицы надо набрать с клавиатуры 1i или 1j и ввести число. При выведении курсора из области числа символ 1 исчезает, остается комплексное число в привычном виде.}

_{В MathCAD есть следующие специальные функции и операторы для работы с комплексными числами:}

_{Re(z) - вещественная часть z;}

_{Im(z) - мнимая часть z;}

_{arg(z) - угол в комплексной плоскости между вещественной осью и z;}

_{- модуль z, чтобы записать модуль от выражения, заключите его в выделяющую рамку и нажмите клавишу с вертикальной полосой;}

_{- число, комплексно сопряженное к z, чтобы применить к выражению оператор сопряжения, выделите выражение, затем нажмите двойную кавычку " (число, сопряжённое к a + bi, есть a – bi).}

_{MathCAD удобно использовать для решения задач и расчетно-графических работ по электротехнике.}

Задание 8. Методом контурных токов определить токи в ветвях схемы (рисунок 8.1), если В, В, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом.

_{Рисунок 8.1 – Расчетная схема}

_{Рисунок 8.1 – Задание исходных данных}

_{Для задания размерностей достаточно введенное значение умножить на единицу измерения.}

_{В расчетной схеме выделяется 4 контура, выбираются направления контурных токов (пунктирные линии на схеме). По второму закону Кирхгофа записываются уравнения для каждого контура:}

_{Рисунок 8.2 – Запись матрицы ЭДС и сопротивлений на основании второго закона Кирхгофа}

Система уравнений решается методом обратной матрицы: .

_{Рисунок 8.3 – Результат решения матричного уравнения}

_{На основании полученной матрицы контурных токов находятся токи в ветвях схемы.}

_{Рисунок 8.4 – Результат нахождения токов в ветвях}

_{Проверить правильность решения задачи можно, составив баланс мощностей.}

_{Рисунок 8.5 – Баланс мощностей}

Сохраните полученный файл в своей папке под именем Задание_8.

_{Самостоятельно выполните задания, приведенные в Приложении 12 (номера заданий необходимо согласовать с преподавателем).}