Марковские цепи с непрерывным временем

1.

Постановка задачи:

Группа в составе пяти самолетов в строю колонной совершает налет на территорию противника. Передний самолет (ведущий) является постановщиком помех. Поток атак – пуассоновский с интенсивностью λ (атак/час). В результате атаки постановщик помех поражается с вероятностью p. Если постановщик помех поражен, то следующие за ним самолеты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО, на каждый из них направляется пуассоновский поток атак с интенсивностью λ; каждой атакой самолет поражается с вероятностью p. Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются, но на другие самолеты не переносятся.

Требуется составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.

Решение:

Исходя из условий задачи, определим следующие состояния системы:

S₀ – все самолеты целы,

S₁ – постановщик помех сбит, остальные целы,

S₂ – постановщик помех и один самолет сбиты, три самолета целы,

S₃ – постановщик помех и два самолета сбиты, два самолета целы,

S₄ – постановщик помех и три самолета сбиты, один самолет цел,

S₅ – все самолеты сбиты.

Начальным состоянием системы является состояние S₀.

Построим размеченный граф состояний системы для потока поражающих атак, при этом интенсивности поражающих атак определяются как произведение интенсивности атак на вероятность поражения от одной атаки. Когда сбит постановщик помех (состояние S₁), то потоки поражающих атак с интенсивностью λ·p приходятся на каждый из четырех самолетов, таким образом, интенсивность поражения одного любого из них (S₁ → S₂) будет в четыре раза выше (4·λ·p). Аналогичным образом определяются интенсивности других переходов, но в них число самолетов меньше, а так как атаки не переносятся на оставшиеся самолеты, то и интенсивность соответствующих смен состояний системы будет меньше.

Для определения вероятностей состояний системы в различные моменты времени составим уравнения Колмогорова:

Из постановки задачи определим начальные условия:

при t = 0, p₀=1, p₁=0, p₂=0, p₃=0, p₄=0, p₅=0.

2.

Постановка задачи:

Условия те же, что в предыдущем примере, но интенсивность λ относится к общему потоку атак, направляемому на всю группу. Атаки распределяются равномерно по всем самолетам. На один самолет приходиться в среднем λ/k (атак/час), где k – число сохранив­шихся самолетов.

Требуется составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.

Решение:

Исходя из условий задачи, определим следующие состояния системы:

S₀ – все самолеты целы,

S₁ – постановщик помех сбит, остальные целы,

S₂ – постановщик помех и один самолет сбиты, три самолета целы,

S₃ – постановщик помех и два самолета сбиты, два самолета целы,

S₄ – постановщик помех и три самолета сбиты, один самолет цел,

S₅ – все самолеты сбиты.

Начальным состоянием системы является состояние S₀.

Построим размеченный граф состояний системы для потока поражающих атак:

Для определения вероятностей состояний системы в различные моменты времени составим уравнения Колмогорова:

Из постановки задачи определим начальные условия:

при t = 0, p₀=1, p₁=0, p₂=0, p₃=0, p₄=0, p₅=0.

3.

Постановка задачи:

Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью λ₁, второго узла – также пуассоновский с интенсивностью λ₂. Каждый узел сразу же после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановления (окончания ремонта узла) для обоих узлов – пуассоновский с интенсивностью λ.

Необходимо составить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова, и определить начальные условия.

Решение:

Определим следующие состояния системы:

S₁ – оба узла нормально функционируют,

S₂ – произошел отказ первого узла, второй узел нормально функционирует,

S₃ – произошел отказ второго узла, первый узел нормально функционирует,

S₄ – оба узла отказали.

С оставим размеченный граф состояний системы. При этом будем учитывать, что потоки событий (отказов и восстановлений) являются пуассоновскими, а одним из свойств пуассоновского потока является свойство ординарности, т.е. вероятность одновременного наступления двух и более событий (одновременного отказа или восстановления обоих узлов системы) пренебрежимо мала (≈0).

По графу состояний системы составим уравнения Колмогорова:

Из постановки задачи определим начальные условия:

при t = 0, p₁=1, p₂=0, p₃=0, p₄=0.

4.

Постановка задачи:

Самолету с 4 моторами (по два на каждом крыле) для продолжения полета достаточно нормальной работы хотя бы по одному мотору на каждом крыле. Во время полета любой из моторов может отказать независимо от других, причем потоки отказов каждого из моторов являются пуассоновскими с интенсивностью λ₁. После отказа любого мотора, включается система аварийного ремонта, которая обеспечивает восстановление функционирования одного отказавшего мотора. Поток восстановления является пуассоновским с интен­сивностью λ₂.

Необходимо составить граф состояний системы, написать уравнения Колмогорова, и определить начальные условия.

Решение:

Определим следующие состояния системы:

S₁ – все моторы нормально функционируют,

S₂ – произошел отказ одного любого мотора,

S₃ – произошел отказ двух моторов на разных крыльях,

S₄ – произошел отказ двух моторов на одном крыле (самолет не может продолжать полет и совершает аварийную посадку),

Составим размеченный граф состояний системы. При этом будем учитывать, что потоки событий (отказов и восстановлений) являются пуассоновскими, а одним из свойств пуассоновского потока является свойство ординарности, т.е. вероятность одновременного наступления двух и более событий (одновременного отказа или восстановления обоих узлов системы) пренебрежимо мала (≈0).

По графу состояний системы составим уравнения Колмогорова:

По условию задачи самолет начинает полет со всеми исправными моторами, т.е. начальные условия: при t = 0, p₁=1, p₂=0, p₃=0, p₄=0.