Системы массового обслуживания с ожиданием
Лекции. Раздел 9.5.
1.
Постановка задачи:
Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой). Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно (m=3). Поток машин, пребывающих для заправки, имеет интенсивность λ=1 (машин в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 минуты.
Необходимо
определить вероятность отказа Pотк;
относительную пропускную способность
q; абсолютную пропускную
способность A; среднее
число машин, ожидающих заправки
;
среднее число машин, находящихся на АЗС
;
среднее время ожидания машины в очереди
;
среднее время пребывания машины на АЗС
.
Решение:
Система будет иметь пять состояний:
S0 – АЗС свободна, никто не ждет и не обслуживается,
S1 – одна машина обслуживается, очередь свободна,
S2 – одна машина обслуживается, в очереди ждет одна машина,
S3 – одна машина обслуживается, в очереди ждет две машины,
S4 – одна машина обслуживается, в очереди ждет три машины,
Составим граф состояний системы:
Определим интенсивность потока обслуживания:
Вычислим приведенную интенсивность потока заявок:
Вычислим предельную вероятность состояния S0 (АЗС свободна):
Вычислим предельные вероятности остальных состояний системы:
Определим вероятность отказа как вероятность состояния S4:
т.е. около 30% машин требующих заправки не будут обслужены.
Определим относительную пропускную способность АЗС:
.
В установившемся режиме АЗС обслуживает около 70% машин, требующих заправки.
Определим абсолютную пропускную способность АЗС:
(машин в минуту)
Определим среднее число машин в очереди:
(машины)
Определим среднее число машин под обслуживанием:
(машины)
Определим среднее число машин на АЗС:
(машины)
Найдем среднее время ожидания в очереди:
(мин)
Определим среднее время пребывания машины на АЗС:
(мин)
Ответ:
,
,
(машин в минуту),
(машины),
(машины),
(мин),
(мин).
2.
Постановка задачи:
Врач в поликлинике представляет собой СМО с одним каналом обслуживания. Количество мест для ожидания допускает пребывание в очереди на лечение не более четырех человек одновременно (m=4). Поток людей, приходящих на лечения, имеет интенсивность λ=0,3 (человека в минуту). Процесс лечение продолжается в среднем 5 минут.
Необходимо определить вероятность отказа Pотк; относительную пропускную способность q; абсолютную пропускную способность A; среднее число людей, ожидающих лечения ; среднее число людей, находящихся в поликлинике ; среднее время ожидания человека в очереди ; среднее время пребывания человека в поликлинике .
Решение:
Система будет иметь шесть состояний:
S0 – врач свободен, никто не ждет и не лечиться,
S1 – врач занят лечением одного человека, очередь свободна,
S2 – врач занят лечением одного человека, в очереди один человек,
S3 – врач занят лечением одного человека, в очереди два человека,
S4 – врач занят лечением одного человека, в очереди три человека,
S5 – врач занят лечением одного человека, в очереди четыре человека,
Составим граф состояний системы:
Определим интенсивность потока обслуживания:
Вычислим приведенную интенсивность потока заявок:
Вычислим предельную вероятность состояния S0 (АЗС свободна):
Вычислим предельные вероятности остальных состояний системы:
Определим вероятность отказа как вероятность состояния S5:
т.е. около 37% людей требующих лечения не будут обслужены.
Определим относительную пропускную способность врача:
.
В установившемся режиме врач обслуживает около 63% людей, требующих лечения.
Определим абсолютную пропускную способность врача:
(человек в минуту)
Определим среднее число людей в очереди:
(человека)
Определим среднее число людей, проходящих лечение:
(человека)
Определим среднее число людей в поликлинике:
(человека)
Найдем среднее время ожидания в очереди:
(мин)
Найдем математическое ожидание среднего времени лечения:
(мин)
Определим среднее время пребывания человека в поликлинике:
(мин)
Ответ:
,
,
(человека в минуту),
(человека),
(человека),
(мин),
(мин).
Практическое занятие 5