Агрегативное описание систем

Лекции. Разделы 11.1-11.3.

Под агрегатом будем понимать объект <T,X,U,Y,Z,H,G>, где T – фиксированное подмножество действительных чисел, X,U,Y,Z – множества любой природы, H,G – операторы (вообще говоря, случайные) переходов и выходов. Элементы указанных множеств назовем: tT – моментом времени; xX - входным сигналом; uU- управляющим сигналом; yY – выходным сигналом; zZ - состоянием. Состояния, входные, управляющие и выходные сигналы, рассматриваемые как функции времени, обозначим z(t), x(t), u(t) и y(t). Операторы переходов и выходов H и G реализуют функции z(t) и y(t).

Для агрегатов справедливы следующие два предположения.

Предположение 1. За конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов и вырабатывается конечное число выходных сигналов.

Предположение 2. Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Под особыми состояниями будем понимать его состояния в момент получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния агрегата будем называть неособыми.

Рассмотрим оператор переходов агрегата.

Пусть z(t*) – некоторое особое состояние агрегата, а u_s – последний управляющий сигнал u_sU. Примем следующие обозначения для операторов, являющихся частными видами оператора H и определяющих состояние агрегата в момент t*+0. Если t* - момент поступления входного сигнала x_, то

z(t*+0)=V[z(t*),x,u_s] (5.1)

Аналогично, если t* - момент поступления управляющего сигнала u, то

z(t*+0)=V[z(t*),u] (5.2)

При одновременном поступлении x и u

z(t*+0)=V [z(t*),x,u] (5.3)

Наконец, если t* - момент выдачи выходного сигнала y, то

z(t*+0)=W[z(t*),u_s] (5.4)

В интервале между особыми состояниями, значение z(t) определяется при помощи операторов U, вид которых в общем случае зависит от особого состояния, являющегося для данного интервала времени начальным состоянием:

z(t*+0)= [t,z(t*+0),u_s] (5.5)

Здесь t* - момент особого состояния, являющегося исходным для данного интервала времени. В общем случае операторы U,V,V,V и W являются случайными операторами.

Теперь рассмотрим оператор выходов агрегата. Во множестве Z состояний z(t) агрегата выделим класс подмножеств {Z_y}, обладающих следующими свойствами. Выходной сигнал y выдается в момент t в тех случаях, когда: 1) z(t)Z_y; z(t-0)Z_y и 2) z(t+0)Z_y, но z(t’)Z_y. Тогда, оператор выходов G можно представить в виде совокупности двух операторов: G, вырабатывающего выходной сигнал

y=G[z(t),u_s] (5.6)

и G, проверяющего для каждого t принадлежность z(t) к одному из подмножеств Z_y. В общем случае, оператор G является случайным оператором. Это значит, что данным t,z(t),u ставится в соответствие не одно определенное значение выходного сигнала, а некоторое множество значений y с соответствующим распределением вероятностей, задаваемых оператором G.

1.

Постановка задачи.

Описать в общем виде процесс функционирования агрегата в интервале [t₀,T].

1. t₀ – начальный момент времени, состояние агрегата z₀, значение управляющего сигнала u₀.

2. t₁>t₀ – поступает управляющий сигнал u₁.

3. t₂>t₁ – поступает входной сигнал x₁ и выдаётся выходной сигнал y₁

4. t₂<t₃<T – выдаётся выходной сигнал y₂ (во всех остальных случаях оснований для выдачи выходного сигнала нет).

Решение.

1. В полуинтервале (t₀,t₁] изменение состояния агрегата описываются оператором (5.5) (промежуток времени между особыми состояниями, начальное состояние z₀ условно считаем начальным особым состоянием этого полуинтервала).

z(t)= [t,z₀,u₀]. (t₀<tt₁)

2. В момент t₁ поступает управляющий сигнал u₁:

z(t₁+0)=V [z(t₁), u₁].

3. В полуинтервале (t₁,t₂] снова действует оператор (5.5):

z(t)= [ t,z(t₁+0),u₁]. (t₁<tt₂)

4. В момент t₂ поступает входной сигнал x₁ и выдаётся выходной сигнал y₁. В первую очередь выдается выходной сигнал:

y₁=G [z(t₂), u₁].

Состояние агрегата меняется скачком, которое описывается оператором (5.4):

z(t₂+0)=W[z(t₂), u₁].

После этого происходит изменение состояния агрегата при принятии входного сигнала x₁, которое описывается оператором (5.1):

z(t₂+0+0)=V [z(t₁+0), x₁,u₁].

5. В полуинтервале (t₂,t₃] действует оператор (5.5):

z(t)= [ t,z(t₂+0+0), u₁]. (t₂<tt₃)

6. В момент t₃ выдаётся выходной сигнал y₂:

y₂=G [z(t₃), u₁]

Cостояние z меняется:

z(t₃+0)=W[z(t₃), u₁].

7. В полуинтервале (t₃,T] снова действует оператор (5.5):

z(t)= [ t,z(t₃+0), u₁]. (t₃<tT)

2.

Постановка задачи.

Описать процесс функционирования следующей однолинейной системы массового обслуживания как агрегата. В моменты времени t_j, представляющие собой случайный поток однородных событий с заданным законом распределения, в систему поступают заявки, каждая из которых характеризуется параметром a_j. Если линия обслуживания занята, заявка попадает в очередь и может находиться там (ждать) не более чем τ_j^(ж)=f(a_j,u_i), где u_i – значение управляющего параметра. Величины τ_j образуют случайный поток однородных событий с заданным законом распределения. Заявка должна быть принята к обслуживанию не позднее, чем в момент времени t_j +τ_j^(ж), в противном случае она получает отказ. Время обслуживания заявки или время занятости линии τ_j^(З)=s(a_j,u_i). Исследуемый интервал времени [t₀,T].

1. t₀ – система занята обслуживанием заявки x₁, в очереди ещё три заявки (заявки обслуживаются в порядке очерёдности), значение управляющего параметра u₁.

2. t₁>t₀ – закончилось время ожидания заявки x₃ (заявка получила отказ).

3. t₁<t₂<T поступает заявка x₅ с параметром a₅.

Решение.

Представим систему массового обслуживания в виде агрегата. Состояние агрегата будем характеризовать вектором z(t)Z со следующими компонентами:

z₁(t) – время, оставшееся до конца обслуживания заявки (для заявки, которая находится на обслуживании);

z₂(t) – значение величины u_i;

z₃(t) – количеств заявок в очереди;

z₄(t) – оставшееся время ожидания первой заявки из очереди (время до момента отказа);

z₅(t) – оставшееся время ожидания второй заявки из очереди (время до момента отказа);

z₆(t) – оставшееся время ожидания третьей заявки из очереди (время до момента отказа).

1. В полуинтервале (t₀,t₁] изменение состояния агрегата описывается оператором (5.5). Для нашего случая он имеет следующий вид:

2. В момент времени t₁ выдаётся выходной сигнал y:

,

где - представляет собой признак – заявка получила отказ,

- выходной параметр заявки.

Состояние агрегата в этот момент изменяется скачком, который описывается оператором (5.4). В нашем случае оператор W имеет следующий вид:

3. В полуинтервале (t₁,t₂] изменение состояния агрегата описывает оператор U (5.5):

4. В момент времени t₂ поступает заявка x₅, состояние агрегата изменяется скачком под действие оператора (5.1). Оператор V' в нашем случае имеет следующий вид :

5. В полуинтервале (t₂,T] изменение состояния агрегата описывает оператор U (5.5):

Практическое занятие 6