2.2.3 Производственная функция Кобба-Дугласа. Коэффициенты эластичности
Функция Кобба–Дугласа применяется для прогнозирования объемов производства, она связывает выпуск продукции и затраты.
Функция имеет вид
, (2.3.1)
где
– объем производства;
– индекс производственных фондов (основные капиталовложения);
– индекс
труда (рабочая сила в сфере материального
производства);
– фактор,
связанный с техническим прогрессом.
Важный экономический показатель для производственной функции является коэффициент эластичности
, (2.3.2)
где – объем производства;
– затраты
-го
фактора для производства продукции.
Коэффициент эластичности безразмерен, показывает на сколько процентов изменяется выпуск продукции при изменении на 1% интенсивности затрат соответствующего фактора.
Функция является нелинейной многофакторной регрессионной моделью.
Можно показать, что коэффициенты регрессии и являются коэффициентами эластичности по капиталам и труду.
Задача 2.2.3.1. В таблице приведены данные по объемам выпуска продукции , затрат капитала и труда в некоторой отрасли за 10 лет.
Таблица 3.1
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
10 |
|
50,0 |
58,0 |
37,0 |
110,0 |
130,0 |
120,0 |
150,0 |
146,5 |
310,0 |
|
2 |
5,2 |
2 |
6,6 |
2,5 |
10,4 |
5,6 |
10,4 |
13,0 |
|
2 |
2 |
2 |
4 |
6 |
2 |
6 |
6 |
6 |
Указания:
Использовать функцию Кобба–Дугласа в виде
.
Для
определения коэффициентов регрессии
,
и
с помощью логарифмирования перейти к
линейной модели.
С помощью метода МНК (см. 2.2.1) построить систему нормальных уравнений и решить ее относительно , и .
2.2.4 Модели расчета годовой производственной программы. Критерии в моделях
Задача расчета годовой производственной программы может быть поставлена как оптимизационная. Планирование осуществляется в укрупненной номенклатуре, потребность в ресурсах на план также в укрупненных показателях.
В качестве критериев в оптимизационной задаче могут быть приняты:
максимизации прибыли от реализации продукции;
минимизация прямых затрат на выпуск продукции;
максимизация загрузки оборудования, если сбыт продукции не ограничен.
Вначале рассчитывается мощность предприятия, т.е. максимальный выпуск продукции по технологическим линиям при применении прогрессивной технологии.
Критерием выбирается обычно максимизация прибыли, в качестве неизвестной переменной – объем выпуска продукции по технологической линии.
Ограничения возможны по мощности предприятия, по лимитирующим ресурсам.
Модель определяет наиболее выгодные изделия для включения в план предприятия, а также осуществляет распределение изделий по технологическим линиям.
После определения производственной программы осуществляется расчет планов по труду, материально-технического снабжения, а также финансовый план под производственную программу.
Задача 2.2.4.1. Для производства 3 видов изделия ( , , ) используется 3 вида сырья (I, II, III). В модели следует учесть запасы сырья на складах предприятия.
Требуется рассчитать план производства из условия максимизации прибыли. Составить модель и найти план симплекс–методом.
Исходные данные содержатся в таблице.
Таблица 4.1
Тип сырья |
Цена сырья (ден. ед.) |
Нормы затрат на единицу продукции |
Запасы сырья |
||
|
|
|
|||
I |
2,0 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
1100 |
II |
1,0 |
0,05 |
0,02 |
0,02 |
120 |
III |
3,0 |
3,0 |
1,0 |
2,0 |
8000 |
Цена изделия (ден. ед.) |
12,25 |
8,42 |
10,82 |
|
|
Составьте модель в общем виде. Конечный вид модели
Введением
дополнительных переменных
,
,
получите
каноническую
форму модели.
Симплексные таблицы метода последовательного улучшения плана приведены далее.
Таблица опорного плана имеет вид
Таблица 4.2
|
|
|
|
3 |
5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
|
Базис |
Ресурсы
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|||||||
1 |
|
0 |
1100 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
120 |
0,05 |
0,02 |
0,02 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
0 |
8000 |
3 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
–3 |
–5 |
–4 |
0 |
0 |
0 |
В базис вводится , из базиса выводится , следующая таблица имеет вид
Таблица 4.3
|
|
|
|
3 |
0 |
4 |
5 |
0 |
0 |
|
Базис |
Ресурсы
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|||||||
1 |
|
5 |
5500 |
0,5 |
5 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
10 |
0,04 |
–0,1 |
–0,02 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
0 |
2500 |
2,5 |
–5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
27500 |
–0,5 |
25 |
6 |
0 |
0 |
0 |
В базис вводится , из базиса выводится , последняя таблица получает вид
Таблица 4.4
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
5 |
3 |
0 |
|
Базис |
Ресурсы
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|||||||
1 |
|
5 |
5375 |
–12,5 |
6,25 |
2,25 |
1 |
0 |
0 |
2 |
|
3 |
250 |
25 |
–2,5 |
–0,5 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
0 |
1875 |
–62,5 |
1,25 |
1,25 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
27625 |
12,5 |
23,75 |
5,75 |
|
|
|
Получаем
план
;
;
,
функция цели
.
показывает
запас неиспользованного ресурса.