Методика решения систем линейных уравнений методом простой итерации

1. Преобразовать систему к виду .

2. Проверить условие сходимости . Задать начальное приближение и точность . Положить .

3. Вычислить приближение по формуле .

4. Если выполнено условие , то процесс завершить и положить , иначе перейти к пункту 3.

Пример 2.2.17.2. Для системы линейных алгебраических уравнений построить сходящийся итерационный процесс:

Решение.

.

Матрица этой системы не имеет диагонального преобладания.

.

, , .

Достаточное условие сходимости метода простых итераций выполняется. Поэтому сначала проведем преобразование.

.

Возьмем

, тогда

,

,

,

.

,

.

Видно, что норма разности между двумя последовательными приближениями с увеличением номера итерации уменьшается, что характеризует сходящийся процесс (этот вывод относится ко всем приведенным примерам). Видно также, что, начиная со 2-й итерации, с увеличением увеличиваются и уменьшаются соответственно, и они стремятся к верному (точному) решению: .

2.2.18 Нахождение наибольшего по модулю собственного числа матрицы

Корни характеристического уравнения являются собственными значениями матрицы .

Пусть наибольший по модулю. Матрица с действительными и положительными коэффициентами имеем наибольшее действительное собственное значение.

В качестве начального собственного вектора возьмем произвольный вектор . Тогда назовем итерацией вектора , которая образуется путем перемножения , , …, ;

.

Приближенное наибольшего по модулю собственного значения:

, , при .

Для ускорения сходимости можно составить последовательность и т.д.

Методика решения задачи нахождения наибольшего собственного значения матрицы

1. Выбрать произвольное начальное приближение собственного вектора , .

2. Найти , , где и .

3. Вычислить .

4. Найти , где .

5. Если , то процесс завершить и положить , иначе и перейти к п.3.

Пример 2.2.18.1. Найти наибольшее собственное значение матрицы

, с точностью .

Решение.

Пусть , тогда значение наибольшего собственного значения на нулевой итерации равно ,

.

,

.

,

,

.

2.2.19 Полиномиальное интерполирование

Пусть функция задана множеством своих значений для дискретного набора точек

– табличные аргументы, – табличные значения функции ( ).

(2.19.1)

Для восполнения исходных табличных функций искомыми функциями, как правило, используются алгебраические многочлены. Задача полиномиального интерполирования всегда имеет решение. Для оценки погрешности найдем остаточный член .

Если раз дифференцируема на и содержит узлы интерполирования , , …, , то существует такая , что выполняется

где .

Оценка интерполяции:

, (2.19.2)

где .

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть исходная сеточная функция задана в узлах в общем случае не равностоящих. Тогда многочлен Лагранжа имеет вид:

.

Найдем коэффициенты .

,

. (2.19.3)

Пример 2.2.19.1. Заданы значения функции таблично, построить полином Лагранжа и найти значения функции в точке ,

	1	4	5	10
	10	6	0	1

Решение.

Полином Лагранжа: , найдем коэффициенты

.

Интерполяционный многочлен Ньютона на неравномерной сетке

Известны значения функции для неравноотстоящих значений аргументов , тогда для построения полинома Ньютона применяются разделенные разности.

Разделенные разности первого порядка:

, .

По разделенным разностям первого порядка определяются разделенные разности второго порядка:

, .

В общем случае разделенные разности порядка n выражаются через функцию:

.

Разделенные разности являются симметрической функцией своих аргументов.

Пусть исходная сеточная функция задана на неравномерной сетке c шагом . Тогда для функциональной интерполяции может быть использован многочлен Ньютона, основанный на разделенных разностях:

Пример 2.2.19.2. Заданы значения функции таблично, построить полином Лагранжа и найти значения функции в точке ,

	–2	–1	0	2
	–1	0	1	8

Решение.

Полином Ньютона:

Найдем разделенные разности:

,

,

,

,

,

,

.