2.1.5 Длина гладкой кривой

Рассмотрим некоторую функцию . Для фиксированного значения – есть некоторая точка в . Такую функцию называют параметрическим представлением кривой в пространстве (роль параметра играет переменная ). Кривая называется непрерывной (соответственно гладкой), если все функции являются непрерывными (соответственно непрерывно дифференцируемыми). Пусть – некоторое разбиение отрезка ; рассмотрим точки и ломаную , которая получается последовательным соединением точек и прямолинейными отрезками. Такие ломаные называют вписанными в кривую . Пусть – длина ломаной .

Кривая называется спрямляемой, если конечна величина , где верхняя грань берется по всем вписанным в ломаным. За значение длины кривой как раз и принимают указанную величину.

Оказывается, что для гладких кривых существует достаточно простой способ вычисления длинны .

Теорема: Гладкая кривая является спрямляемой, причем для ее длины справедлива следующая формула:

.

П ример 2.1.5.1. Найти длину астроиды .

Р ешение.

Дифференцируя уравнение астроиды, получим , отсюда .

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

.

Отсюда

П ример 2.1.5.2. Найти длину одной арки циклоиды

Решение.

Имеем и . Поэтому

.

Пределы интегрирования и соответствуют крайними точкам арки циклоиды.

П ример 2.1.5.3. Найти всю длину кардиоиды .

Решение.

В силу симметрии кривой найдем сначала половину длины. Поскольку , получим:

.

Отсюда .

2.1.6 Объем тела вращения

Пусть – кривая, описываемая в декартовой системе координат на плоскости непрерывной неотрицательной функцией . Рассмотрим формулу для вычисления – объема тела вращения, ограниченного плоскостями и и поверхностью вращения кривой вокруг оси в трехмерном пространстве.

Теорема. Для величины справедлива следующая формула:

.

П ример 2.1.6.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямой .

Решение.

.

Пример 2.1.6.2. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси вокруг оси .

Решение.

Воспользуемся формулой . Тогда

.

Пример 2.1.6.3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси одной арки циклоиды , .

Решение:

.

П ример 2.1.6.4. Определить объем, образованный вращением кривой вокруг полярной оси.

Решение.

Воспользуемся формулой .

.

2.1.7 Площадь поверхности тела вращения

Пусть – кривая, описываемая в декартовой системе координат на плоскости непрерывной неотрицательной функцией , имеющей на непрерывную производную. Рассмотрим формулу для вычисления – площади поверхности вращения кривой вокруг оси в трехмерном пространстве.

Теорема. Для величины справедлива следующая формула:

.

Пример 2.1.7.1. Найти площадь поверхности «веретена», которое получается в результате вращения одной полуволны синусоиды вокруг оси .

Решение.

.

П ример 2.1.7.2. Найти площадь поверхности,

образованной вращением одной арки циклоиды

вокруг оси .

Решение.

Поскольку арка циклоиды симметрична относительно прямой , рассчитаем половину площади поверхности в пределах , что соответствует .

.

Выполним замену , тогда , .

.

Вся площадь поверхности составляет .

Пример 2.1.7.3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение.

;

Выполним замену , тогда, .

.