2. Магнитное поле прямого и кругового токов
Рассмотрим два случая применения закона Био-Савара-Лапласа для вычисления поля прямого и кругового тока.
Прямолинейный
бесконечно тонкий проводник (рис. 4.6.)
разобьем на бесконечно малые отрезки
длиной
.
Направление отрезка совпадает с
направлением тока I.
Элемент тока
отстоит
от точки наблюдения А
на расстоянии
.
Согласно
(4.2), в произвольной точке А
любой
элемент dl
бесконечного прямого проводника,
создает поле с индукцией
,
причем все они будут иметь одно и то же
направление – перпендикулярное
плоскости чертежа, «от нас» (рис. 4.6.).
Следовательно, модуль
результирующего
вектора равен алгебраической сумме
модулей
,
и его направление также перпендикулярно
плоскости чертежа. На
основании (4.2)
|
|
.
где
– угол между векторами
и
.
Здесь три связанных переменных
,
и
можно свести к одной, например
.
Для этого выразим
и
через
и
:
,
(см. рис. 4.6.). Угол
изменяется в пределах от 0 до
,
|
(4.3) |
Как
следует из этой формулы, магнитная
индукция зависит только
от силы тока
и расстояния
до провода. Следовательно, она
одинакова для всех точек окружности,
центр которой находится на
проводе. Учитывая направление вектора
,
приходим к выводу, что
линии индукции имеют вид концентрических
окружностей. Это результат согласуется
с соображениями симметрии задачи.
Тонкий провод с
током имеет форму окружности радиуса
R (рис. 4.7.). Разобьем
его на бесконечно малые отрезки длиной
.
Направление отрезка задается направлением
тока I. Элемент тока
виден из центра окружности под углом
.
Каждый элемент тока
создает в центре окружности индукцию
,
перпендикулярную плоскости окружности
(лежат вдоль положительной нормали
).
Таким образом, векторное сложение можно
заменить скалярным:
|
|
.
Пределы интегрирования
очевидны:
–
.
|
(4.4) |
.Формула (4.4) определяет магнитную индукцию в центре кругового витка. В других точках модуль и направление магнитной индукции имеют иные значения
Как уже отмечалось, в центре кругового тока вектор индукции совпадает по направлению с положительной нормалью:
|
(4.5) |
.Тогда (4.4) с учетом (4.5) можно придать вид:
|
(4.6) |
.Здесь введена характеристика контура с током – магнитный момент контура:
|
(4.7) |
;
.Направление магнитного момента связано с направлением тока правилом винта.
|
|
|
Рис. 4.6. К выводу поля прямого тока |
Рис. 4.7. К выводу поля кругового тока |
Рис. 4.8. К вычислению циркуляции |
В науке и технике магнитные поля часто создаются довольно сложными системами проводников с током (электродвигатели и электрогенераторы, отклоняющие системы электронно-лучевых трубок, ускорители заряженных частиц и т. д.). В таких случаях расчет магнитного поля на основе принципа суперпозиции, т. е. с использованием формулы (4.2), весьма не прост, поэтому для таких систем (как и в электростатическом поле) анализ проводят на основе свойств потока и циркуляции вектора .
3. Магнитное поле принципиально отличается от электростатического поля своим вихревым характером. Это видно по силовым линиям. Если для электростатического поля силовые линии начинаются на положительном заряде и заканчивается на отрицательном, т.е. есть начало и конец силовой линии. Для магнитной силовой линии, как это следует из (4.3), силовые линии замкнуты – нет начала и конца (см. рис.4.4. и рис. 4.7.)! Вихревая природа силовых линий отражается и в математических выражениях.
Найдем
циркуляцию вектора магнитной индукции
(рис. 4.8.). Для простоты вычислений
источником магнитного поля выберем
бесконечный прямой ток I.
Одна из его силовых линий, соответствующая
индукции с модулем В
(показана окружностью с радиусом R).
Вокруг него в перпендикулярной плоскости
выбран произвольный замкнутый контр L
(пунктирная линия). Направление обхода
выберем по часовой стрелке. Найдем
циркуляцию вектора магнитной индукции
по контуру L
–
.
Элемент
обхода контура
отстоит от тока на расстоянии
и виден под углом
.
Тогда
.
В итоге получаем:
|
(4.8) |
.Результат зависит только от силы тока, охваченного контуром, и не зависит ни от формы контура, ни от типа источника магнитного поля, поэтому его легко обобщить на произвольное число охваченных токов11.
|
(4.9) |
.Знак тока выбирается по правилу винта.
Результат (4.9) позволяет легко найти поле для некоторых симметричных токов, например внутри соленоида. – длинной катушке с проводом.
Соленоид – это проводник в виде параллельных витков, имеющих общую ось (рис. 4.9). Его получают, наматывая провод на цилиндр (как пружину).
Конфигурация
линий
изолированного
витка показана на рис. 4.7.
При удалении от оси они изгибаются. Если
изобразить два соседних
витка, то нетрудно убедиться, что при
сложении их полей результирующий
вектор
опять ориентируется
параллельно оси, поэтому внутри
соленоида с плотно расположенными
витками
все линии
параллельны оси, как
показано на рис. 4.9. Если соленоид
достаточно
длинный, то магнитное поле будет
сосредоточено внутри соленоида. Кроме
этого оно однородно
(одинаково
во всех точках).
Выберем контур интегрирования в виде прямоугольника (1234). Сторону 23 и 41, длиной , расположим параллельно магнитным силовым линиям. Стороны 12 и 34 расположены перпендикулярно силовым линиям. Направление обхода контура выберем по часовой стрелке.
Найдем циркуляцию
вектора магнитной индукции
.
Правую и левую части вычислим по отдельности.
Левая часть распадается на четыре интеграла:
|
|
.Первый и третий интегралы равны нулю, т.к. векторы и на участках 12 и 34 взаимно перпендикулярны. Четвертый интеграл равен нулю, т.к. на участке 41 индукция равна нулю (магнитное поле сосредоточено внутри соленоида).
Правая
часть:
.
Здесь
– число витков, охваченных контуром,
– сила тока в витке.
В итоге для магнитного поля длинного соленоид получаем:
|
(4.10) |
.
Здесь
– число витков на единице длины.
4. Поток вектора магнитной индукции показывает, чему равна нормальная составляющая вектора индукции через единичную поверхность:
|
(4.11) |
;
.Знак потока зависит от выбора направления нормали к поверхности.
Аналогично закону Остроградского-Гаусса можно найти поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность. Результат чрезвычайно простой:
|
(4.12) |
.
|
|
|
Рис. 4.9. К вычислению поля соленоида |
Рис. 4.10. К определению потока индукции |
Рис. 4.11. К взаимодействию элементов тока |
Результат (4.12) подчеркивает, что не существует магнитных зарядов, или нет уединенного магнитного полюса, или магнитные полюса существуют парами.
4. Взаимодействие токов, как упоминалось, подробно изучил Ампер. Два параллельных элемента тока притягиваются, если токи текут в одном направлении (рис. 4.3 и 4.11.) и отталкиваются, если токи противоположны. В частности между параллельными токами на единицу длинны действует сила:
|
(4.13) |
.Здесь – расстояние между токами.
Взаимодействие параллельных токов используется для определения одной из основных единиц СИ – ампера.
Силу Лоренца (4.1) можно представить несколько в ином виде.
|
(4.14) |
Таким образом, со стороны магнитного поля на элемент тока действует сила. Ее называют силой Ампера, а ее направление задается правилом левой руки или правилом буравчика.
Соотношение (4.14) называют законом Ампера.
Как следует из закона Ампера, если проводник с током в магнитном поле предоставить самому себе, то поле может его перемещать. Этот опт впервые провел Х. Эрстед. Т.к. проводник перемещается в направлении силы Ампера, то она совершает работу. Найдем ее:
|
(4.15) |
.Т.е. работа по перемещению проводника с током прямо пропорциональна магнитному потоку, пересеченному движущимся проводником.
Если в магнитном поле находится рамка с током, то со стороны магнитного поля на рамку действует вращающий момент:
|
(4.16) |
Результат
не зависит от формы рамки, что позволяет
найти наименование для индукциии:
.
Если
рамку с током предоставить самой себе,
то под действием вращающего момента
она примет положение
.
Другими словами, контур с током в
магнитном поле ведет себя подобно
магнитной стрелке.
Для
поворота рамки на угол
необходимо затратить работу
|
(4.17) |
И в этом случае работа прямо пропорциональна изменению магнитного потока через контур.
Способность магнитного поля совершать работу при повороте контура с током используют в электродвигателях.
Источники информации
1.Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – 7-е изд., стер. – М: Высш. шк., 2003. – 541 с.: ил.
Лекция 5 2ч.