Система линейных уравнений и её решение.
Различные формы записи системы линейных уравнений.:
общая
матричная
векторная
Совместная система - имеет хотя бы 1 решение.
Несовместная система - не имеет решений.
Совместная определенная - имеет единственное решение.
Совместная неопределенная - имеет больше 1 решения.
Решить систему - значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, то найти ее общее решение.
Эквивалентные(равносильные) системы - имеющие одно и то же общее решение, т.е. каждое решение 1 системы является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях системы при условии, что они выполняются лишь над строками матрицы.
О
днородная
система - все свободные члены равны
0. Всегда совместна.
Т
ривиальное
(нулевое решение системы) - решение
системы вида х1=х2=...=хn=0.
Метод Гаусса для решений совместной системы линейных уравнений.
Пусть дана система уравнений:
1)a11x1+a12x2+….a1nXn=b1
a21x1+a22x2+….a2nXn=b2
……………………………
am1X1+am2X2+…..amnXn=bn
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе(прямой ход) система приводится к ступенчатому(в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:
a11x1+a12x2+….+a1kXk+….a1nXn=b1
a22x2+….+a2kxk+…. a2nXn=b2
………………………
akkXk+….aknXn=bk
Прямой ход.
Будем считать, что элемент а11 не равен 0( если а11=0, то первым в системе запишем уравнение, котором коэффициент при x1отличен от нуля)
Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого( используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части уравнение на –а21/а11 и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на –а31/а11 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжаем этот процесс, получим эквивалентную систему :
2)a11x1+a12x2+….a1nXn=b1
a22x2+….a2nXn=b2
……………………………
am2X2+…..amnXn=bm
Аналогичным образом, считая главным элементом а22 не =0, исключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы(номер 1) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения,т.е равенства вида 0=0, их отбрасывают.
Обратный ход.
Заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное Xk через остальные неизвестные (Хк+1,…..Xn). Затем подставляем значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем Xk-1 через (Xk+1,….Xn); затем находим Xk-2,……х1. Придавая свободным неизвестным (Xk+1,….Xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Замечания:
1)Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е k=n, то исходная система имеет единственное решение.
2) На практике удобнее работать не с системой 1, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками.