22. Линейные операции с геометрическими векторами. Координаты геометрического вектора и его запись с помощью знака суммы. Знак суммирования и его свойства.

Произведением вектора   на число  называется вектор, получающийся из вектора   растяжением (при  ) или сжатием (при  ) в   раз, причём направление вектора   сохраняется, если  , и меняется на противоположное, если  . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы   и   =   всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называютсяколлинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить "коллинеарны".) Справедливо и обратное утверждение: если векторы   и   коллинеарны, то они связаны отношением

.    (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

С уммой векторов   и   называется вектор  , начало которого совпадает с началом вектора  , а конец - с концом вектора  , при условии, что начало вектора   приложено к концу вектора  . (Рис. 3)

Э то определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n свободных векторов  . Если к концу вектора  приложить начало вектора  , а к концу вектора   - начало вектора   и т.д. и, наконец, к концу вектора   - начало вектора  , то суммой этих векторов служит замыкающий вектор  , начало которого совпадает с началом первого вектора  , а конец - с концом последнего вектора  . (Рис. 4) Слагаемые   называются составляющими вектора  , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора   на число -1 получается противоположный вектор  . Векторы   и   имеют одинаковые длины и противоположные направления. Их сумма   даёт нулевой вектор, длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора   вектор   означает прибавить к вектору  противоположный вектор  , т.е. 

23. Разложение произвольного вектора по ортам координат­ных осей на плоскости и в пространстве.

Выделим на корд.осях единичные векторы: I,j,k. Выберем произв.вектор а пространства и совместим его начало с началом коорд: а=ОМ. Найдем проекции вектора а на коорд оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскочти, параллельные координатным плоскостям. Точки пересеч этих плоскостей с осями обозначим через М1,М2,М3. Получим прямоуг парал-пед,одной из диагоналей которого является вектор ОМ. По опред суммы векторв находим: а=ОМ1+M1N+NM. А так как M1N=OM2, NM=OM3,то а=ОМ1+ОМ2+ОМ3. ОМ1=|ОМ1|i и тд. Обозначим проекции вектора на оси|ОМ1|=аy итд. В итоге получается: a=ax на i+ay на j+ az на k.

24. Действия с геометрическими векторами в координатной форме.

П усть даны два вектора  и  , заданные своими проекциями:

и ли

или 

У кажем действия над этими векторами.

1 .Сложение:

или, что то же

т .е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.

2 .Вычитание:

или, что то же,

т .е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.

3 .Умножение вектора на число:

или, что то же

т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число