52. Пространство Rn и линейные операции в этом пространстве.

53. Система векторов. Линейно зависимые и независимые векторы.

Любое конечное множество в-ров наз. системой в-ров(S).

Лин. комбинацией системы векторов или просто векторов а1 , а2,а3…аn, наз. сумма вида

λ1a1 + λ2а2 + ... + λ_nаn(λ произвольные числа).

Лин. комбинация наз. тривиальной, если все λ1,λ2,…, λ_n=нулю.

В ином случае лин. комбинация наз. нетривиальной.

Линейные пространства

Сис. В-ров наз. л. н. если не сущ. нетривиальной лин.комбинации в-ров этой системы,= нул. эл-ту, в противном случае говорят, что система л.з. Лин.зав.систему можно представить в виде лин.комбинации др.нетривиальных комбинаций этих векторов.

Системы векторов обладают рядом важных свойств.

1. Система из более, чем одного вектора линейно-зависима , когда хотя бы 1 из в-ров есть лин.комбинация остальных.

2. Если в сис.входит нул.в-р ,то она л.з.

3. Если некот.из в-ров входящих в сис.образует л.з.подсистему,то вся сис. л.з.

] S л.н.з.Но ее посис.S’ л.з. по утр.2 вся сис. л.з. Что противор.усл.-->предположение неверно.

4.Каждая подсис.л.н.з.сис.в-ров сама л.н.

] S={а1,…,аn} ;SэS’={аi1,…aik},i*k=n

Т.к.S’- л.з.подсис. --> сущ.нетривиальный набор чисел α1…αn,такой что α1*

Макс.число л.н.з.в-ров сис. наз.рангом этой системы.

54. Базис линейного пространства. Примеры.

Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов )

Базис в пространстве R в степени n (канонический базис). Примеры: Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора , взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.

55. Теорема о разложении вектора по базису.

Определение. Пусть   – произвольный вектор,   – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                    ,                       (1)

то говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов   является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора   по базису  . Коэффициенты линейной комбинации   называются в этом случае координатами вектора   относительно базиса  .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

   Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и  –базис  . Возьмем произвольный вектор  . Так как оба вектора   и   коллинеарные одной и той же прямой L, то  . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как  , то найдется (существует) такое число  , что   и тем самым мы получили разложение вектора   по базису   векторного пространства  .

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора   по базису   векторного пространства  :

 и  , где  . Тогда   и используя закон дистрибутивности, получаем:

                       .

Так как  , то из последнего равенства следует, что  , ч.т.д.

2 ) Пусть теперь Р произвольная плоскость и   – базис  . Пусть   произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведемпрямую  , на которой лежит вектор  , прямую  , на которой лежит вектор  . Через конец вектора   проведем прямую параллельную вектору   и  прямую параллельную вектору  . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма  , и  ,  ,   – базис  ,   – базис  .

   Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа  , что

   и  . Отсюда получаем:

 и возможность разложения по базису доказана.

                                         рис.3.

   Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора   по базису   векторного пространства  :   и  . Получаем равенство

, откуда следует  . Если  , то  , а т.к.  , то   и коэффициенты разложения равны:  ,  . Пусть теперь  . Тогда  , где  . По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что  . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,   и  , ч.т.д.

3) Пусть  – базис   и пусть   произвольный вектор. Проведем следующие построения.

Отложим все три базисных вектора   и вектор   от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы  , плоскость   и плоскость  ; далее через конец вектора   проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:

                             рис.4.

По правилу сложения векторов получаем равенство:

                         .                                    (1)

По построению  . Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число  , такое что  . Аналогично,   и  , где  . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:

                                              (2)

 и возможность разложения по базису доказана.