Решение квадратной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А =
(А1, А2,...Аn)
называется невырожденной,
если векторы-столбцы являются линейно
независимыми. Число линейно независимых
векторов-столбцов матрицы называется
рангом матрицы 
.
Поэтому можно сказать, что для того,
чтобы существовала обратная матрица,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы равнялся ее размерности, т.е. r
= n.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.
Формулы Крамера.
Если
в системе 
линейных
уравнений с
неизвестными 
,
то система имеет решение и притом
единственное. Это решение задается
формулами
Доказательство. Обратная матрица находится по формуле
где 
--
алгебраические дополнения. Тогда
Заметим, что разложение
определителя 
по
первому столбцу в точности совпадает
с первым элементом матрицы-столбца в
правой части последнего равенства,
разложение определителя 
по
второму столбцу дает второй элемент
матрицы-столбца и т.д. Поэтому
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Линейное (векторное) пространство. Линейное подпространство.
Про-во наз. Лин. Пр-вом, если для любых эл-в х, у, z того про-ва и произвол. веществ.чисел µ, v выполняются след. св-ва:
А1. х + у = у + х
А2. х + {у + z) = (х + у) + z.
АЗ. Особ. роль веществ.единицы: 1*х= х.
А4 - µ(v х) = v (µ х).
А5. Сущ. нул. эл-т., к-рый обозначается символом О, что х +0 = х.
А 6 . Для всякого элемента х сущ-т противоп.эл- т ẍ этого про-ва такой, что: х+ẍ=О.
А7. (µ+v)x = µх+ vх
А 8 . µ (x + у) = µх+µу
Эл-ты лин. про-ва наз. векторами. Само лин. про-во будем обозначать L. примеры лин.пр-ва
1.геом.вектора;
2.матрица,
3.ф-ции,
4.n-мерный в-р –упоряд.набор п-чисел,для к-рых справедливы
2 свойства:
1 х,у- п-мер.в-ры(х,уЕL)х=(х1,…,хп),у=(у1,…уп)1.х+у=(х1+у1,…хп+уп)
2.кх=(кх1,…,кхп)кЕR В произвольном лин. про-ве сущ-т единств.нулев.эл-т и для каждого эл-та сущ.
единтс-ный ему противопол.
Док-во. Сущ-ние нул. и противопол. эл-ов утверждается в сво-вах А5 и А6. Предположим, что сущ-ет 2 нуля O1 и О2. Тогда по св-ву А5: O1 + О2 = O1, а по А1
И А5: O1+02=О2+O1=О2. След-но O1=02,т.е.имеется только один нул. эл-т. Теперь пусть сущ-т 2 эл-та у1 и у2 обратных х. Тогда по А5,А2 и A1: y1=у1+0 = у1+ (х+у 2) =
(у1+х)+у2=(х+y1)+у2=0+У2=У2+0=У2 ч.т.д.
В лин. про-ве нулевой эл-т = 0*х, а эл-т противоп. х = (-1)*х, где 0,-1 – вещест.числа.
Док-во. ]ẍ – противоп. эл-т для х, кот-й есть по св-ву А6. Тогда 0*х = 0*х+0=0*х+х+ẍ=(0+1)х+ẍ=х+ẍ=0.Наконец,х+(-1)*х=(-1+1)х=0*х=0.
Сл-но, 0*-х нул.эл-т лин.про-ва, а(-1)*х-противоп. эл-т этого пр-ва.
Размерностью пр-ва наз.число-вектор в базисе этого пр-ва.
Лин.подпр-во.
Подпр-вом наз.часть пр-ва,эл-ты к-рого удовл.2 св-вам.
1.суммы эл-тов подпр-ва принадлжеит подпр-ву.
2.эл-т подпр-ва умноженное на число также явл.эл-том подпр-ва.
Если подпр-во лин.,то для его эл-тов также выполнены восемь св-в лин.пр-ва.
Если пр-во лин.,то и всякое его подпр-во лин. Каждое пр-во содержит тривиальное подпр-во.
Теорема Всякое нетривиальное конечномерное лин. подпр-во явл.лин.оболочкой своего базиса.т.е. L(Sn)=L,Sn‑базис.
Док-во. если Sn - базис в L, то по определению лин.оболочки, с одной стороны, L (S n) принадлежит L , с другой - по определению базиса L принад. L(S n)- Следовательно L (S n) = L.
Заметим, что, т.к. всякий вектор лин. пр-ва расскладывается по базису в виде лин. комбинации, то лин. пр-во само явл. лин. оболочкой в-ров своего базиса I
справедливо.
Т.если система в-ров л.н.з.,то она образует базис подпр-ва, построенного на этих в-рамках.
Т.сумма подпр-в явл.также подпр-вом.
] х,у принад. L=L`+L’’x+y=x’+x’’+y’+y’’=x’+y’+x’’+y’’=L’+L’’.
Теорема .пересечение лин.подпр-в также явл под-вом.
Если пересечение подпространств L’ и L " -- нул под-во,то сумма таких подпр-ств наз. прямой суммой.
Теорема .Если подпр-во образованно прямой суммой,то всякий эл-т из этой суммы можно разложить единств.способом.
Теорема. Размерность суммы 2х подпр-ств= сумме размерностей подпр-ств минус размерность их пересечения.
Теорема . Размерность прямой суммы подпр-ств =сумме размерностей этих подпр-ств.