21. Определение вероятности ( классическое, статистическое, геометрическое). Алгебра случайных событий. Вероятность суммы событий.

Теория вероятности - изучает массовые явления с устойчивой частотой

Применение – экономика, военное дело, физ, псих, социол, лингвистика; явл базой для статистики. ТВ появилась она в 17 веке.

Случайное событие – событие, которое в результате испытания, может как произойти , так и не произойти. Пример: число выпадений герба при бросании монеты 1000 =500раз.

Относительная частота события А=m/n(m- число появлений события А в испытании ; n- общее число испытаний; 0≤m≤n). Пример рождение девочек и мальчиков. Частота рождения девочки 0,48

Свойство относительной частоты

1). 0≤m/n≤1

2). Событие является достоверным, если в результате испытаний оно обязательно произойдёт. Относительная частота достоверного события = 1 (m=n, m/n=1)

3). Событие является невозможным, если в результате испытаний оно не произойдёт. Относительная частота невозможного события = 0 (m=0, m/n=0).

Статистическое определение . Если относительная величина мало отличается от постоянной Р, когда число испытаний n достаточно велико , то const Р – статистическая вероятность.

Свойства вероятности: 1). 0≤ Р(А)≤1 2). Р (достоверного события) = 1 3). Р (невозможное события ) = 0

Алгебра случайных событий 1)А+В – произошло хотя бы одно событие: или А, или В, или оба 2)А *В – произошли оба события: и А, и В 3)А – событие А – не произошло.

Классическое определение вероятности (основано на понятии равновозможности)

Пусть имеется множество случайных событий Е1, Е2, … Еn. 1)если при всяком испытании произойдёт одно из событий 2)если все события равновозможны, то вероятность каждого, называемого элементарным, события -- Е_m=1/n,

Вероятность события А = число событий благоприятствующих А / общее число событий (n)

Пример: при бросании игральной кости в виде куба,вероятность выпадения четного сисла очков = 3/6.

Геометрическое определение вероятности базируется на отношении площади области, куда попала точка А при испытании, к общей площади области, на которой проводилось испытание. В таком случае Р(А)=S(А). Р(А)=S(A)/S(U), где U – область проведения испытания.

Теоремы о вероятности суммы.

События А и В называются несовместными , если они не могут наступить в одном испытании, те исключают друг друга. ( брошенная точка попадет или в область А, или в область В)

Р(А+В)= S(А)+ S(В) )= P(А)+P(В), если А и В несовместные события.

События А и В совместные события, если они не исключают друг друга.

Р(А+В)=S (А)+S(В)-S(АВ)= P(А)+P(В)-P(АВ), если А и В совместные события.

А+А=достоверное событие Р(А+А)= Р(А)+Р(А)=1, Р(А)=-Р(А), АА – невозможное событие. Р(АА) – несовместимы. Р(А)= 1- Р(А).

22. Вероятность произведения независимых событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

События А и В независимые, если наступление одного из них не зависит от того наступления другого. Пример: выпадение герба не зависит от выпадения решки, вероятность выпадения герба -1/2, вероятность выпадения на кубе «5»- независимое событие, его вероятность= 1/6; вероятность одновременного выпадения герба и «5» = 1/2*1/6=1/12

Вероятность произведения независимых событий. Р(АВ)=Р(А)*Р(В), если А и В независимые. Пример: 2 стрелка, Р(А)=0,8 – 1 попал, Р(В)=0,7 – 2 попал. Р(АВ)=0,8*0,7=0,56 – попали оба. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=0,2*0,3=0,06 – оба не попали. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=1,5-0,56=0,94 – попал хотя бы один. Р(АВ+АВ)=0,8*0,3+0,7*0,2=0,38 – попал ровно 1 стрелок.

Правило Р(АВ)+Р(АВ)+Р(АВ+АВ)=1.

Условная вероятность.

Р_А(В) – вероятность события А при условии, что произошло событие В

1. Для зависимых событий: Р(АВ)=Р(А)* РА(В) , где РА(В)- вероятность события В при условии, что событие А произошло. Пример: в ящике 3 белых и 7 черных шаров. Достаем последовательно без возвращения 2 шара. Какова вероятность того, что они оба белые? Решение. А- 1 шар белый. Р(А)=3/10. В-2 шар белый. Р(В)=2/9 Р(АВ)=Р(А)*РА(В)=1/15.

2. Для независимых событий: РА(В)=Р(В); Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Формула полной вероятности

События Н1, Н2, … Нn образуют полную группу событий ,если в результате испытания обязательно происходит одно и только одно из этих событий; Н1, Н2, … Нn -гипотезы.

1. Н1+Н2+…Нn - достоверные события

2. Нk * Нm – невозможное событие, k≠ m

Рассмотрим случайное событие А. Если проведено испытание и событие А произошло, то произошла одна из гипотез Н1, Н2…Нn

Р(А)=Р[Н1*А+Н2*А+…..+А*Нn]=Р(АН1)*Р(Н2*А)+…Р(А*Нn)

Р(А)=Р(Н1)*Р_Н1(А)+Р(Н2)*Р_Н2(А)…..+Р(Нn)*Р_Нn(А) - формула полной вероятности.

Пример: в магазин поступили изделия с 3 заводов. 60% изготовлено на 1 заводе, 25% - на 2, 15% - на 3. Первый зовод изготавливает 50% изделий 1 сорта, 2- 30%, 3- 10%. Куплено 1 изделие. С какой вероятностью оно 1 сорта? Решение: А – куплено изделие 1 сорта. Н1- изделие 1 завода, Н2 – 2го, Н3 – зго. Р(Н1)=0,6; Р(Н2)= 0,25; Р(Н3)=0,15. Р_Н1(А)=0,5; Р_Н2(А)=0,3; Р_Н3(А)=0,1. Р(А)=Р(Н1)*Р_Н1(А)+Р(Н2)*Р_Н2(А)+Р(Н3)*Р_Н3(А)=0,5*0,5+0,25*0,3+0,15*0,1=0,39