Связь между бесконечно большим и беск малыми: Если аn - беск большая то 1/аn – беск малая

Если а_n - беск малая то 1/а_n – беск большая. Пример а_n = n² 1, 4, 9,16…- беск большая =>1/а_n = 1/n² 1, ¼, 1/9, 1/16…. - бесконечно малая

8. Предел последовательности. Геометрическая интерпретация теоремы об ограниченности последовательности, имеющей предел

Число А называется пределом последовательности а₁, а_2, …а_n, если для любого положительного числа Е существует такой номер N, после которого выполняется неравенство |а_n - A|<E - lim_(n→∞) а_n = A

(Для люб Е> 0 сущ N, что для люб n (n>N→|a_n - A|<E)

Пример a_n = n/n+1 . ½ 2/3 ¾ 4/5 lim_(n→∞) а_n = 1

Свойства:

1) lim a_n=c – предел постоянной равен постоянной

2) lim(n→0) 1/n=0 – предел бесконечно малой равен 0

	Геометрический смысл предела: Последов (an) имеет пределом число А , зададим Е>0, тогда существует номер N, что при n>N выполняется |an-A|<E по определению. Раскроем модуль: -Е<an-A<E. Значит, все члены последовательности, у которых n>, лежат в промежутке (А-Е ; A+Е)

В любом промежутке (А-Е ; A+Е) лежат все члены последовательности а₁, а_2, …а_n => В любой точке окрестности (А-Е ; A+Е) точки А находятся конечное число членов этой последовательности

Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограничиная.

Дано lim_(n→∞) а_n = A Док-ть: а_n – ограничена.

Док-во. По условию lim_(n→∞) а_n = A. Т.к. Е>0,то существует номер N, после которого выполняется неравенство |а_n - A|<E по определению. Если n>N, то все члены последовательности лежат в промежутке (А-Е ; A+Е) => а_n – ограничена. Если n ≤N, то члены последовательности а₁, а_2, …а_n образуют конечное множ-во. Т.о. а_n – ограничена. чтд

Важно: обратная теорема не верна! Пример: |sin x|≤1, те sin x ограничен, но lim_(n→∞) sin x не существует.

9. Предел суммы, произведения, частного. Теорема о единстве предела.

Предел числа A называется пределом последовательность а_n, если для всякого Е>0 существует номер N, после которого выполняется неравенство |а_n – A|<Е ( Для всяк Е>0 сущ N, для всяк n ( n>N→|a_n-A|<E) )

Свойства:

1) lim a_n=c – предел постоянной равен постоянной

2) lim(n→0) 1/n=0 – предел бесконечно малой равен 0

Теорема: предел суммы равен сумме пределов.

Дано: lim(a_n)=А, lim(b_n)=В Док-ть: lim(a_n+b_n)= lim(a_n)+ lim(b_n), если lim(a_n) и lim(b_n) существуют

Док-во: 1)по условию, lim(a_n)=А, следовательно а_n=А+α_n, где α_n -десконечно малая. Аналогично lim(b_n)=в_n+βn, где βn-бесконечно малая.

2) а_n+в_n= А+α_n + в_n+βn =(А+В)+(α_n +βn )=А+В, чтд ( А, В – числа; α_n +βn- по теореме о сумме 2 бесконечно мылых является бесконечно малым)

Теорема. Предел произведения равен произведению пределов.

Дано: lim(a_n)=А, lim(b_n)=В Док-ть: lim(a_n*b_n)= lim(a_n)* lim(b_n), если lim(a_n) и lim(b_n) существуют

Док-во: 1)по условию, lim(a_n)=А, следовательно а_n=А+α_n, где α_n -десконечно малая.Аналогично lim(b_n)=в_n+β_n, где βn-бесконечно малая.

2) а_n*в_n= (А+ α_n )(В +βn )=АВ+ α_n* βn =АВ, чтд ( А, В – числа; αn *βn- бесконечно малое)

Следствиу: постоянный множитель выносится за знак предела lim(an*c)=limc*lim(an)=c*lim(an)

Теорема. Предел частного равен частному пределов. lim(a_n/b_n)= lim(a_n )/lim(b_n), если lim(a_n) и lim(b_n) существуют и lim(b_n)≠0

Теорема о единстве предела: последовательность может иметь только 1 предел.

	Док-во: 1) ПП: пусть А и В – пределы последовательности; lim(an)=А, lim(аn)=В, А>В, (А-В)>0, (А-В)=r, E=r/3, Е=r/3>0 2)Тк. lim (an)=A, то для Е= r/3 существует такой номер N, после которого выполняется неравенство |аn – A|<Е. Т к. n<N1, то А-Е<аn<А+Е. Значит, аn не лежат в полосе ( В-Е;В+Е), значит lim(an)≠B. Получено противоречие. Следовательно, утверждение теоремы истинно.