2. Прямое произведение .Бинарные отношения. Св-ва рефлексивности , симметричности, транзитивности .Разбиение мн-ва на классы .Основные типы мат.Структур.
Пряммым произведением мн-ва А и В называется мн-во АхВ, состоящее из всех упорядоченных пар элементов, в которых первый элемент принадлежит мн-ву А, второй – мн-ву В.
Упорядоченная пара (х,у) е АхВ, ттт, когда хеА и уеВ. Две упорядоченные пары (а,в) и (с,d) равны, если а=с и в=d.
Пример :
А={1,2,3} B={4,5} AxB={(1,4), (1,5),(2,4), (2,5), (3.4),(3,5)}
BxA={(4,1),(5,1),(4,2),(5,2),(4,3)(5,3)}, те АхВ≠ВхА
Результат прямого произведения зависит от порядка сомножителей.
Теорема : А содержит m элементов, В- n элементов, то АхВ содержит m* n элементов.
Дано: А={а1, а2, ...аm}; В={b1,b2,...bn} Док-ть; АхВ содержит m*n элементов
Док-во: АхВ
(a1,b1).....(am,b1) |
Т.о. АхВ содержит m строк по n элементов, те m*n элементов, чтд |
(a2,b2)....(am,b2) |
|
(am,b1)...(am,bn) |
Бинарные отношения R - подмножество прямого произведения АхВ
Пример: А={1,2,3} B={4,5} R={(1,4), (1,5),(2,4), (2,5), (3.4),(3,5)}
Частный случай: бинарное произведение одинаковых сомножителей МхМ – подмножество R.
Свойства бинарных отношений:
R рефлексивно на МхМ ,если для любого аеМ, верно (а ,а)е R
R симметрично: для любого а и b из М, верно (а,b)еR =>(b,а)еR
R транзитивность, если для любых а,b,с из М, верно (а,b)еR и (b,с,)еR=> (а, с)еR
Если рефлексивно, симметр, транзит, то R наз.отношением эквивалентности
Конгруентность – совпадение при наложении (а,в)еR c Δ(а,в)
Теорема: всякому отношению эквивалентности R соотв.разбиение мн-ва М на классы; всякому разбиению мн-ва на классы соответствует отн-е эквивалентности ( пример:М- мн-во прямых на плоскости,(а,в)еR? если а//в или а=в; в этом случае задано отношение эквивалентности , благодаря которому вводится понятие направление)
Разбиением мн-ва М на классы называется система его непустых подмножеств, обладающих свойствами: 1) сумма все подмножеств системы равна мн-ву М 2) никакие 2 различных подмножества не содержат общих элементов.
Классы – подмножества, составляющие разбиение мгн-ва М. Пример – классы вычетов по |mod m|, когда в один класс объединяют числа, при делении на m дающие один и тот же остаток.
Важнейшие структуры: порядка (рассматривает социология) , алгебраические( классы вычетов по модулю m, образующие группоиды, группы, кольца, поля) топологические, изучающие движение, непрерывность,окрестность, предел, ограниченность, бесконечность и базирующиеся на понятиии расстояния. .
3.Функции и их свойства. Обратные функции. Операции суперпозиции. Взаимно-однозначное соответствие. Создание класса элементарных функций.
Функцией А −f→ В, где А, В – множества, называется закон в виде прерчисления или общего правила, по которому элементам из 1-го мн-ва А ставится в соот-вие элементы из мн-ва В .
Теорема Каждая функция А −f→ В определяет бинарное отношение на множестве А×В; каждое бинарное отношение А×В определяет функцию А −f→ В.
Док-во:1). Дана функция А −f→ В, следовательно заданы множества А и В и закон f, по которому а→в. Зададим на прямом произведении А×В бинарное отношение R следующим образом: (a, b) є R, если a −f→ b.
2) Дано R на мн-ве А×В, значит, если (a, b) є R, то а→в, значит задана А −f→ В.
Свойства функции
1)Функция А −f→ В однозначна – каждый элемент из первого мн-ва соответствует не более одного эл-та из другого множества. Если a −f→ b, то f(a)=b, где b – образ элемента а.
2)Ф. А −f→ В всюду определенная – каждому эл-ту первого мн-ва поставлен в соот-вии эл-т второго мн-ва.
Область определения функции - мн-во А1 тех эл-тов мн-ва А, кот поставлены в соот-вие эл-ты мн-ва В.
Отображение множества А – однозначная и всюду определенная функция А −f→ В (каждому эл-ту из А поставлен в соответствие один и только один элемент из В). Пример – поворот на угол а.
3)Функция А −f→ В на все множество В, если каждый элемент из В поставлен в соответствие какому-нибудь элементу из А.
4)Функция А −f→ В внутрь множества В – не кажд эл-т из В поставлен в соотв к-л элементу из А.
Область изменения (значений) - множество В1 тех элементов из В, которые поставлены в соответствие элементам из А.
5)Функция инъективна – каждому эл-ту из второго мн-ва В поставлен в соответствие единственный элемент из А.
Обратные функции
Пусть А −f→ В – произвольная данная функция (однозначная или нет). Рассмотрим функцию B −f-1→ A, закон которой f-1 задан следующим образом: b −f-1→ a, е.и.т.е. a −f→ b. Построенная этим способом функция является обратной к функции А −f→ В.
Теорема 1: Если данная функция А −f→ В всюду определена, то обратная функция B −f-1→ A – функция на все множество А.
Док-во: Пусть а є А, так как А −f→ В – всюду определена, то существует элемент b є B такой, что a −f→ b. Тогда по определению обратной функции b −f-1→ a. Следовательно, в функции B −f-1→ A произвольный элемент а из второго множества поставлен в соответствие некоторому элементу из первого мн-ва, т. е. B −f-1→ A – функция на все А.
Теорема 2: Если А −f→ В – функция на все множество В, то обратная функция B −f-1→ A всюду определена (аналогично).
Теорема 3: Обратная функция B −f-1→ A однозначна т. и. т., когда данная функция А −f→ В – инъективна.
Док-во: 1) пусть данная функция инъективна. Предположим, что B −f-1→ A не однозначна. Это значит, что существует такой элемент b є B, которому поставлены в соответствие два разных элемента а1 и а2 из А, а1≠ а2, b −f-1→ а1 b −f-1→ а2, по определению обратной функции отсюда следует, что а1 −f→ b, а2 −f→ b, а1≠ а2. Это значит, что функция А −f→ В не инъективна, что противоречит предположению.
2) Пусть обратная функция B −f-1→ A однозначна. Предположим, что А −f→ В не инъективна. Это значит, что некоторый элемент b є B поставлен в соответствие двум разным элементам из множества А, а1≠ а2. Тогда по определению обратной функции отсюда следует, что b −f-1→ а1 b −f-1→ а2, а это значит, что функция B −f-1→ A не однозначна, что противоречит предположению.
Суперпозиция. Результатом суперпозиции двух данных функций А −f→ В и В −φ→ С называется функция А −φ◦f→ С, закон которой задается след. образом а −φ◦f→с т. и т. т., когда существует такой элемент b є B, что a −f→ b и b −φ→ c. Функция А −φ◦f→ С – композиция.
Операция суперпозиции обладает свойством ассоциативности и не обладает свойством коммутативности.
Взаимнооднозначное соответствие . Функция А −f→ В осуществляет взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами А и В, если она всюду определена, однозначна, инъективна и является функцией на все В.
Можно установить между равномощными множествами.
Теорема Если функция А −f→ В и В −φ→ С устанавливает взаимно однозначное соотношение между А и В, В и С, то их композиция А −φ◦f→ С устанавливает взаимнооднозначное соответствие между А и С.
Класс элементарных функций.
1)прямая y=кх+b; 2)парабола y=ax²+bx+c; 3)гипербола y=(ax+b)/(cx+d ); 1/x 4)многочлен y=a0xn+a1хn-1+аn
5) иррациональные √x,3√x 6)отношение многочленов.y= (a0xn+a1хn-1+аn)/ (b0xm+b1хm-1+bm)
7)ах и logax (вошли в математику в 17 веке) 8) тригонометрические функции