15 Теорема Лагранжа о конечном приращении функции. Следствие.

Теорема : если ф-ция у=f(х) непрерывна на отрезке [a;b] и во всех точках промежутка (a;b) имеем производную , то внутри отрезка [a;b] – существует такая точка §, a<§<b, что выполняется равенство

f(b)-f(a)=f'(§)(b-a)

1) AC||ox 2) AC=(b-a) – приаршение аргумента 3) ВС= f(и)-f(а) - приаршение функции 4) Соединим Аи В, угол АВС=а ( АВ||касательной через т.М; АС||ох) 5) tg a=BC/AC 6) BC=tg a *AC 7) f(b)-f(a) = tg a(b-a) - * 8) Предвигаем АВ до тех пор, пока АВ не превратится в касательную в некоторой т. С 9) касательная, проведенная через т.М || АВ 10) М§ ┴ох 12) По геометрическому смыслу производной f '( §) = tg a 13) из * f(b)-f(a)=f'(§)(b-a), чтд

Следствие 1. Если функция у=f(x) имеет равную нулю производную на некотором связном множестве М действительных чисел, то функция является постоянной на этом множестве.

Док-во. 1) Пусть х_{о –} некоторая фиксированная точка из мн-ва М; f(x) = c. Рассмотрим произвольную точку

х еМ, х ≠ х_{о .} По теореме Лагранжа существует точка §, для котрой верно f(х)-f( х_о )=f'(§) (х_о -х)

2) х еМ, х_о е М, следовательно, § е М. Следовательно f'(§) = 0. Следовательно f(х)-f( х_о )=f'(0) (х_о -х)=0.

3)Следовательно, f(x)=f( х_о )=c, чтд. По таблице у=с, следовательно у'=0. По т. Лагранжа у'=0, следовательно, у=с.

Следствие 2. Если 2 функции f 1(x) и f 2(x) имеют равные производные во всех точках связного мн-ва М, то для все х еМ они отличаются на одну и ту же постоянную величину.

Док-во. Пусть f 1(x) = f2(x). Докажем, что для всех х еМ, верно f1(x)-f2(x) = c.

1) F(x) = f 1(x) – f2(x) 2) F'(x) = f '1(x) – f '2(x)= c'=0 Следовательно, по следствию 1, для кажд х еМ верно f1(x)-f2(x) = c, чтд

16. Дифференциал функции. Определение. Правила вычисления. Геометрический смысл. Формула для вычисления диффренциала двух функций.

Дано: ф-ция f(x) имеет произвотную у'.

1) lim ∆у/∆х = у' следовательно, по теореме о связи м-ду функцмей, ее пределом х→а и бесконечно ∆х→0

малой: переменную величину, имеющую предел, можно представить в виде суммы ее предела и бесконечно малой величины , ∆у/∆х = у'+а. Умнржим обе части на ∆х – получим ∆у= у'*∆х+α*∆х

2) Приращение ф-ции ∆у= у'*∆х+α*∆х. Т.о ∆у состоит из 2 частей у'*∆х и α*∆х. Если ∆х→0 , то α→0 => α*∆х – бесконечно малая 2 порядка (отбрасывается).

у'*∆х – главная часть приращения ф-ции – прямо пропорциональна 1 степени приращения аргумента ∆х , поэтому она называется линейной частью приращения. Т.о. у'*∆х – главная линейная часть приращения функции.

Главная линейная часть приращения функции – дифференциал функции (du). dy=у'*∆x

du отличается от ∆у на бесконечно малую величину 2 порядка α*∆х, поэтому du ≈ ∆у.

Если y=x, то dy= у'*∆х = 1*∆х, то dy=dх; у=х, dx= 1*∆х , то dx = ∆х .

Дифференциалом независимой переменной х называют её приращение ∆х

Дифференцирование – операция нахождения производной от функции. Функции, имеющие дифференциал, - дифференцируемые.