Тема №2

Наименование раздела	Содержание раздела
Силы, действующие в жидкостях. Абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред. Модель идеальной (невязкой) жидкости		Вязкость жидкостей и газов. Реальная и идеальная (невязкая) жидкости. Поверхностные и массовые силы. Тензор напряжений для вязкой и идеальной жидкости. Закон Паскаля. Жидкость в поле силы тяжести. Равновесие вращающейся жидкости. Закон Архимеда. Равновесие сжимаемой жидкости. Атмосфера в поле силы тяжести

Вязкость жидкостей и газов

Вязкость (внутреннее трение) — одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.

При движении реальных (вязких) жидкостей в них возникают внутренние напряжения, обусловленные силами внутреннего трения жидкости. Природа этих сил до­вольно сложна; возникающие в жидкости напряжения связаны с процессом переноса им­пульса (вектора массовой скорости движения жидкости). При этом возникающие в жидкости напряжения обусловлены двумя факторами: напряжениями, возникающими при деформации сдвига и напряжениями, возникающими при деформации объёмного сжатия.

Наличие сил вязкостного трения в движущейся жидкости подтверждается простым и наглядным опытом. Если в цилиндрическую ёмкость, заполненную жидкостью опустить вращающийся цилиндр, то вскоре придёт в движение (начнёт вращаться вокруг своей оси в том же направлении, что и вращающийся цилиндр) и сама ёмкость с жидкостью. Этот факт свидетельствует о том, что вращательный момент от вращающегося цилиндра был передан через вязкую жидкость самой ёмкости, заполненной жидкостью.

Напряжения, возникающие при деформации сдвига согласно гипотезе Ньютона про­порциональны градиенту скорости в движущихся слоях жидкости, а сила трения между слоями движущейся жидкости будет пропорциональна площади поверхности движущихся слоев жидкости:

T= τS,

где:

Т- сила трения между слоями движущейся жидкости,

S - площадь поверхности слоев движущейся жидкости,

τ - касательные напряжения, возникающие в жидкости при де­формации сдвига

,

где:

μ - коэффициент динамической вязкости жидкости.

Величина коэффициента динамической вязкости жидкости при постоянной темпера­туре и постоянном давлении зависит от внутренних (химических) свойств самой жидко­сти. Размерность коэффициента динамической вязкости в системе единиц СИ: стокс, м²/с.

Помимо коэффициента динамической вязкости жидкости широко используется ко­эффициент кинематической вязкости жидкости v, представляющий собой отношение ко­эффициента динамической вязкости к плотности жидкости:

, (6.3)

В системе единиц СИ коэффициент кинематической вязкости измеряется в м /с.

Вязкость жидкости в значительной степени зависит от температуры и давления. При увеличении температуры капельной жидкости коэффициенты её вязкости (как динамиче­ский, так и кинематический) резко снижается в десятки и сотни раз, что обусловлено уве­личением внутренней энергии молекул жидкости по сравнению с энергией межмолеку­лярной связи в жидкости.

Зависимость вязкости капельной жидкости от температуры может быть выражена в виде экспоненциальной зависимости:

,

где:

µ₀ - вязкость капельной жидкости при стандартной температуре T_Q - 20 °С,

a₀ - экспериментальный температурный коэффициент. Зависимость вязкости жидкости от давления в широком диапазоне давлений остаётся практически линейной:

,

где:

- вязкость жидкости при атмосферном давлении,

а_р - экспериментальный коэффициент пропорциональности.

Газы обладают несравнимо более низкими коэффициентами вязкости от 0,0000084 до 0,0000192 н·с/м ², и в отличие от капельных жидкостей вязкость газов увеличивается при увеличении температуры, т.к. с увеличением температуры газа возрастают скорости теплового движения молекул и, соответственно, увеличивается число соударений молекул газа, что делает газ более вязким. Зависимость вязкости газа от давления ничем не отлича­ется от аналогичной зависимости для капельных жидкостей.

Таблица 6. 1 - Коэффициент динамической вязкости жидкости и газов

Коэффициент динамической вязкости жидкости и газов
Капельные жидкости при Т=18°C	μ, н∙с/м²	Газы при Т=0°C	μ, н∙с/м²
Анилин	0,00460	Азот	0,0000167
Ацетон	0,00034	Аммиак	0,0000093
Бром	0,00102	Водород	0,0000084
Вода	0,00105	Воздух	0,0000172
Глицерин	1,39300	Кислород	0,0000192
Масло машинное	0,11300	Метан	0,0000104
Нефть	0,0080-0,1000	Углекислота (СОi)	0,0000140
Спирт этиловый	0,00122	Хлор	0,0000129

Измерение вязкости жидкостей осуществляется с помощью вискозиметров, рабо­тающих на принципе истечения жидкости через малое калиброванное отверстие; вязкость вычисляется по скорости истечения.

Кроме деформации сдвига внутреннее сопротивление в жидкости возникает и при объёмном сжатии жидкости, т.е. сжимаемая жидкость стремится восстановить состояние первоначального равновесия. Этот процесс, в некоторой степени, аналогичен проявлению сил сопротивления при деформации сдвига, хотя сам процесс и отличается по своей сути. По этой причине говорят, что в жидкости проявляется так называемая вторая вязкость £, обусловленная деформацией объёмного сжатия жидкости.

Вязкость — важная физико-химическая характеристика веществ. Ее значение приходится учитывать при перекачивании жидкостей и газов по трубам (нефтепроводы, газопроводы). Вязкость расплавленных шлаков весьма существенна в доменном и мартеновском процессах. Вязкость расплавленного стекла определяет процесс его выработки. Во многих случаях судят о готовности или качестве продуктов или полупродуктов производства, поскольку вязкость тесно связана со структурой вещества и отражает те физико-химические изменения материала, которые происходят во время технологических процессов. Вязкость масел имеет большое значение для расчёта смазки машин и механизмов и т.д.

Реальная и идеальная (невязкая) жидкости

Идеа́льная жи́дкость — в гидродинамике — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствует вязкость. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Поверхностные и массовые силы

Массовые силы - это силы, пропорциональные массе жидкости. В случае однородной жидкости эти силы пропорциональны объёму. Прежде всего, к ним относится вес жидкости.

, где:

G – вес жидкости;

V – объём жидкости;

m – масса жидкости;

g – ускорение свободного падения;

ρ – плотность жидкости;

γ – удельный вес жидкости.

Как известно, масса является мерой инертности тела. Это свойство присуще и жидкостям, поэтому к массовым силам относятся и силы инерции:

, где:

F_ин – инерционная сила;

v – скорость жидкости;

t – время движения;

a – ускорение движения.

Силы инерции, действующие в жидкости, так же как и для твёрдого тела, могут проецироваться на оси.

Поверхностные силы – силы, величины которых пропорциональны площади. К ним относят два вида сил. Силы поверхностного натяжения и силы вязкого трения. Последние проявляются только при движении жидкости и не играют никакой роли, когда жидкость находится в покое. Эти силы, как свойство вязкости, были рассмотрены при изучении свойств жидкостей.

Силы поверхностного натяжения. Молекулы жидкости притягиваются друг к другу с определённой силой. Причём внутри жидкости силы, действующие на любую молекулу, уравновешиваются, т.к. со всех сторон от неё находятся одинаковые молекулы, расположенные на одинаковом расстоянии (Рисунок 2.1)

Рисунок 2.1- Силы поверхностного натяжения

Однако молекулы жидкости, находящиеся на границе (с газом, твердым телом или на границе двух несмешивающихся жидкостей) оказываются в неуравновешенном состоянии т.к. со стороны другого вещества действует притяжение других молекул, расположенных на других расстояниях. Возникает преобладание какой-то силы. Под влиянием этого воздействия поверхность жидкости стремится принять форму, соответствующую наименьшей площади. Если силы внутри жидкости больше наружных сил, то поверхность жидкости стремится к сферической форме. Например, малые массы жидкости в воздухе стремятся к шарообразной форме, образуя капли. Может иметь место и обратное явление, которое наблюдается как явление капиллярности. В трубах малого диаметра (капиллярах) наблюдается искривление свободной поверхности, граничащей с газом или с парами этой же жидкости. Если поверхность трубки смачивается, свободная поверхность жидкости в капилляре вогнутая. Если нет смачивания, свободная поверхность выпуклая, как при каплеобразовании. Во всех этих случаях силы поверхностного натяжения обусловливают дополнительные напряжения p_пов в жидкости. Величина этих напряжений определяется формулой

, где:

σ - коэффициент поверхностного натяжения,

r - радиус сферической поверхности, которую принимает жидкость.

Эти дополнительные напряжения легко наблюдать, если в сосуд с жидкостью погрузить капилляр. В этом опыте возможны два варианта.

Рисунок 2.2- Явление смачивания и несмачивания

В первом случае жидкость, за счёт поверхностных сил, поднимется по капилляру на некоторую высоту. Тогда говорят о капиллярном поднятии, и наблюдается явление смачивания.

Во втором варианте жидкость опускается в капилляре ниже уровня жидкости в сосуде. Такое явление называют капиллярным опусканием, которое происходит при несмачивании.

В обоих случаях величина пропорциональна дополнительному напряжению, вызванному в жидкости поверхностными силами. Она равна

, где:

σ - коэффициент поверхностного натяжения,

d – диаметр капилляра,

k – коэффициент пропорциональности, который выражается следующей формулой:

,

и зависит от жидкости. Например, при t = 20 ºC, k спирта составляет 11,5, ртути –10,15 а воды - 30.

Поднятие воды в капиллярах почвы и грунтов является важным фактором в распространении воды. Высота капиллярного поднятия в грунтах изменяется от нуля (галечники) почти до 5 м (глины). При этом с увеличением минерализации воды высота капиллярного поднятия увеличивается.

Поверхностное натяжение и капиллярные эффекты определяют закономерности движения жидкости в условиях невесомости.

К поверхностным силам относятся и силы давления, т.к. они действуют на поверхности жидкости.

Тензор напряжений для вязкой и идеальной жидкости

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор .

В движущейся среде мысленно выделим частицу в форме жидкого тетраэдра. Пусть - внешняя нормаль к четвертой (на­клонной) грани тетраэдра , а площадь этой грани dS (см. рис.1).

Рисунок 1

Площади других граней - соответственно , , , т.к. их можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следовательно, , где обозначает направляющий косинус. Аналогично, , . Обозначим объем тетраэдра dV, тогда действующая на него массовая сила , а массовая сила инерции , где вектор ускорения жидкого тетраэд­ра. Поверхностная сила, действующая на наклонную грань - . Для трех других граней можем записать:

Знаки минус, т.к. векторы , и направлены в стороны, противоположные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответ­ствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса × ускорение = (результирующая массовых сил) + (результирующая поверхностных сил).

Имеем:

Слагаемые и есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

,

Рисунок 1.1

Из этого равенства следует, что напряжение при произвольной ориентации нормали может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Oy и Oz.

Проекции векторов , и на координатные оси x, y, z обозначаются:

Первый подстрочный индекс указывает ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй ­ ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис.1.1.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси координат выражение может быть записано как:

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в следующем виде:

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположен­ные симметрично главной диагонали, равны ( ; ; ). Следовательно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений , , в соотношении, носящем имя Коши, и приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, применимые к физическим векторам.

К понятию тензора можно подойти и другим путем, который, возможно, покажется более простым. Поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на нем. Для наглядности тензор можно представить как какой-то оператор, с помощью которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, оператор можно представить как какую-то «машину», которая по определенным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип работы этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выходе. Можно записать:

, где

- входной вектор;

- выходной вектор;

- оператор, который и называют тензором.

Существенное ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по которым работает оператор. Для интересующихся таким подходом можно рекомендовать книгу Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости ­ ее вязкость ­ не проявляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае касательные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные , , , ориентированные по внешним нормалям (см. рис.11). При этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показывает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимающие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие усилия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений , из чего следует, что нормальные напряжения в данной точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гидромеханике называют давлениями, либо более полно ­ гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой p, т.е.

Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называемой моделью идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматривается как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться разрывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. лишенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

Закон Паскаля

Паскаль открыл, что все жидкости и газы передают производимое на них давление во все стороны одинаково. Это утверждение называют законом Паскаля.

Свойство жидкостей передавать производимое на них давление одинаково во все стороны наглядно демонстрируется в опыте с шаром Паскаля. При вдвигании поршня в трубку часть воды выталкивается из шара в виде струек, вытекающих но нормали к поверхности шара из всех отверстий, а не только в направлении силы давления поршня (см рис.1.2)

Рисунок 1.2

На основе использования закона Паскаля работают гидравлические машины. Основными частями гидравлической машины являются два цилиндра с поршнями, в цилиндрах под поршнями находится минеральное масло. Цилиндры соединены между собой трубкой, по которой масло может перетекать из одного цилиндра в другой (см. рис.1.3)

Рисунок 1.3

Жидкость в поле силы тяжести

Пусть несжимаемая жидкость (например, вода) находится в поле тяжести , при этом . Для расчета распределения давлений удобно направить ось x вдоль силы тяжести, совместив ее начало со свободной поверхностью жидкости. Поскольку потенциальную функцию можно записать в виде (нормировка потенциала такова, что U(0)=0), то распределение давлений по глубине определяется из соотношения

, (1)

Константа C определяется из условия равенства давления на поверхности воды атмосферному давлению p0. Следовательно,

, (2)

Если принять атмосферное давление Па, плотность воды кг/ , то из (1) легко посчитать, что с увеличением глубины на каждые 10 метров ( =10 м) давление увеличивается на величину атмосферного давления ( ). Важно отметить, что возрастание давления с глубиной не зависит от формы сосуда, в который налита жидкость. Яркой иллюстрацией справедливости этого утверждения является одинаковость уровней жидкости в двух сообщающихся сосудах произвольной формы (Рисунок 2.1). Действительно, равенство двух горизонтальных сил давления, обеспечивающих равновесие кубика жидкости в нижней части сообщающихся сосудов возможно лишь при равенстве высот столбов воды в обоих сосудах.

Рисунок 2.1- Сообщающиеся сосуды произвольной формы

Проиллюстрируем несколько экспериментов с сообщающимися сосудами. Пусть оба колена U-образного сосуда (Рисунок 2.2) разделены подвижной перегородкой П, при этом правое колено заполнено водой, а левое - ртутью, плотность которой более чем в 10 раз превышает плотность воды ρ ( ).

Очевидно, равновесие в этой ситуации достигается при высоте столба ртути h , значительно меньшей высоты столба воды h.

Уместно помнить, что столб ртути высотой =760 мм уравновешивает давление 10-метрового столба воды, или почти 10-километрового столба атмосферы.

Поэтому для измерения атмосферного давления используют ртутные манометры, а атмосферное давление измеряют в миллиметрах ртутного столба. Такой манометр представляет собой два сообщающихся сосуда, заполненных ртутью. Один из сосудов в виде тонкой трубки заполнен сверху и из него удален воздух, а второй сообщается с атмосферой (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.2- Эксперимент с сообщающимися сосудами

Рисунок 2.3-Ртутный манометр

Если измеряемые давления на 1-2 порядка меньше атмосферного давления, то можно использовать и водяные манометры. Завершая описание равновесия жидкости, отметим, что в Мировом океане из-за больших глубин формула (2.1) нуждается в уточнении, т.к. плотность увеличивается с глубиной. За исключением нескольких необычных мест она может меняться от географического положения в пределах 2% от постоянной величины равной 1035 кг/м³. Обычно колебания плотности обусловлены колебаниями температуры и солености воды.

Закон Архимеда

Закон Архимеда формулируется следующим образом: на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости (или газа)(называемая силой Архимеда)

FA = ρgV, где:

ρ — плотность жидкости (газа);

g — ускорение свободного падения;

V — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности).

Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Рисунок 3.1 – Закон Архимеда

Тело плавает, если сила Архимеда уравновешивает силу тяжести тела.

Следует заметить, что тело должно быть полностью окружено жидкостью (либо пересекаться с поверхностью жидкости).

Так, например, закон Архимеда нельзя применить к кубику, который лежит на дне резервуара, герметично касаясь дна.

Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела.

PB − PA = ρgh

FB − FA = ρghS = ρgV,

где:

PA, PB — давления в точках A и B;

ρ — плотность жидкости;

h — разница уровней между точками A и B;

S — площадь горизонтального поперечного сечения тела;

V — объём погружённой части тела.

В теоретической физике также применяют закон Архимеда в интегральной форме:

, где:

S — площадь поверхности,

p — давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела.

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов производятся принудительно, вентиляторами.

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести и силы Архимеда, которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

— тело тонет;

— тело плавает в жидкости или газе;

— тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Равновесие сжимаемой жидкости

При внутренних напряжениях плотность газов не остается постоянной. Можно считать, что давление является функцией плотности ( ), причем вид этой функции, как будет показано ниже, задается условиями, при которых находится газ. Поэтому в механике сплошных сред в этих случаях оперируют с плотностью силы , то есть с силой, приложенной к единице массы, которая связана с силой F в соотношением

,

Тогда условие равновесия примет вид:

,

В левую часть этого равенства входят давление и плотность, являющиеся неизвестными функциями координат, а правая часть обычно известна. В поле силы тяжести . В этом случае поверхностями равных давлений и плотностей будут горизонтальные плоскости, две из которых p( ) = и p(x) = p изображены на рисунке 4.1. Если мы введем вспомогательную функцию

,

Следовательно:

,

Вводя далее для единицы массы потенциальную энергию U1, с которой внешняя сила связана соотношением

,

получаем уравнение:

,

а условие равновесия имеет вид

,

Следует отметить, что условие равновесия позволяет рассчитать распределение давлений как в жидкостях, так и в газах.

Атмосфера в поле силы тяжести

Многочисленные исследования атмосферы, проведенные при помощи аэростатов, ракет и искусственных спутников Земли, показывают, что по мере увеличения высоты давление и плотность монотонно убывают, а температура монотонно убывает лишь в нижнем 10-километровом слое, а в более высоких слоях меняется немонотонно. Параметры атмосферы зависят как от географического положения места, так и от времени года. В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 1 представлены высотные зависимости параметров среднестатистической атмосферы Москвы, полученные в летнее и зимнее время. Если разница в высотных зависимостях температуры атмосферы составляет десятки градусов, то распределение "зимнего" давления отличается от "летнего" всего лишь на несколько процентов, и на рисунке эта разница неразличима. Сложная высотная зависимость температуры атмосферы есть результат совместного проявления процессов тепломассопереноса, инициируемых излучением Солнца. Расчеты показывают, что если бы атмосфера и Мировой океан, называемые жидкой оболочкой Земли, не поглощали бы энергию солнечного излучения, то Земля нагрелась бы на экваторе до 270 К, на Южном полюсе - до 150 К и на Северном полюсе - до 170 К. При таких температурах установилось бы радиационное равновесие: нагретая Земля излучала бы в мировое пространство столько энергии, сколько получает от Солнца. Однако поверхность Земли значительно теплее, а контраст температур между экватором и полюсом намного меньше. Это - результат поглощения солнечной энергии самой атмосферой. Кроме того, атмосфера и океан переносят тепло от одной области к другой, что также влияет на энергетический баланс. Поглощение солнечной энергии осуществляется главным образом водяным паром, углекислым газом и озоном, вследствие чего создается "парниковый эффект", приводящий к дополнительному нагреванию поверхности Земли. Поскольку воздух вблизи поверхности более теплый и легкий, чем воздух сверху, то он всплывает вверх (вертикальная конвекция), и нижний слой атмосферы перемешивается. Поэтому распределение температуры, изображенное на рис. 1, является результатом динамического равновесия атмосферы в поле силы тяжести, при котором соблюдается баланс энергии. Радиационное равновесие можно рассчитать, если принять во внимание, что в нижнем слое атмосферы основным физическим фактором, отвечающим за достижение равновесия, является поглощение радиации водяным паром. На больших высотах доминирующим является поглощение углекислым газом и озоном.

Рисунок 1.1-Участки атмосферы

Атмосфера делится на отдельные участки, как это видно из рисунке 1 Нижний слой атмосферы, называемый тропосферой, содержит 80% массы атмосферы, почти весь водяной пар и облака и характеризуется сильным вертикальным перемешиванием. Сверху тропосфера ограничена тропопаузой, где температура атмосферы меняется очень мало. Выше расположена стратосфера, которая слабо перемешивается. Ее устойчивость обусловливается повышением температуры с высотой в результате радиационного баланса. Возрастание температуры заканчивается в стратопаузе. Выше находится мезосфера, где температура опять падает. Мезосфера содержит лишь 0,1% массы всей атмосферы. Выше мезосферы (H>100 км) находится термосфера, в которой температура опять растет с высотой, достигая 600 К в период спокойного Солнца и более 2000 К в период солнечной активности. Для вычисления изменения атмосферного давления с высотой воспользуемся условием равновесия в виде:

,

Связь между давлением и плотностью для сухого воздуха задается уравнением состояния идеального газа:

,

Справедливость использования этого уравнения обусловлена тем, что влияние влажности на плотность воздуха существенно лишь в тропиках вблизи поверхности Земли.

,

которое можно проинтегрировать, если известна T(x). В качестве грубого приближения в можно использовать среднее значение температуры , при этом отклонение максимальной температуры у поверхности или минимальной температуры на высоте H = 100 км от среднего значения составляют около 15%. Интегрируя, получаем распределение давления изотермической атмосферы

,

носящее название барометрической формулы. Высота H0, на которой давление падает в e раз, называется приведенной высотой атмосферы и равна:

,

Отметим, что если бы плотность не менялась с высотой

( ), то интегрирование привело бы к линейному (как для несжимаемой жидкости) закону убывания давления с высотой:

,

В этом случае вся атмосфера была бы ограничена высотой км, что, конечно, противоречит реальной ситуации. Для практических целей используются унифицированные атмосферные параметры и их высотные зависимости. Так, Международная организация гражданской авиации (МОГА) для нужд авиации определила в 1952 г. стандартную атмосферу до высоты 20 км, а в 1963 г. дала новое определение до высоты 32 км. Стандартная атмосфера есть условная атмосфера, для которой давление и температура на уровне моря, градиент температуры и другие значения были выбраны намеренно так, чтобы получить схематичную модель атмосферы, которая наилучшим образом согласуется со средними значениями ее параметров, наблюдаемыми на средних широтах. Эта модель, в частности, широко используется для градуирования альтиметров (приборов для определения высоты летательного аппарата). В этой модели принимается, что до высоты h = 11000 стандартных геопотенциальных метров над уровнем моря, где температура воздуха равна -56,5 С, градиент температуры dT/dh равен -0,0065 С на стандартный геопотенциальный метр. До высоты 20000 стандартных геопотенциальных метров dT/dh=0, а выше, вплоть до 32000 стандартных геопотенциальных метров, градиент температуры равен +0,001 С на стандартный геопотенциальный метр.

Геопотенциальный метр является единицей измерения геопотенциала, определяемого уравнением

, где ускорение свободного падения

, где:

RЗ - радиус Земли;

g - ускорение свободного падения на среднем уровне моря;

x - высота над уровнем моря.

Если бы ускорение g не менялось с высотой, то высота h в геопотенциальных метрах была бы равна геометрической высоте над уровнем моря x. В модели стандартной атмосферы соотношения между давлением p, температурой Т, плотностью и геопотенциалом h задаются следующим образом:

1.В двух атмосферных слоях с постоянным градиентом температур

,

2.В изотермическом атмосферном слое, где dT/dh = 0 и T(0) = const,

,

и работает барометрическая формула. Здесь p(0) и T(0) - давление и температура у основания каждого слоя, R - универсальная газовая постоянная для сухого воздуха, h - разница геопотенциала между рассматриваемой точкой слоя и его основанием, - молекулярная масса сухого воздуха, коэффициент G = 9,80665, если геопотенциал выражен в геопотенциальных метрах. Учет изменения температуры с высотой приводит к высотной зависимости давления (1.9), которая является лучшей аппроксимацией реальной атмосферы, чем барометрическая формула. Для более глубокого ознакомления с использованием модели стандартной атмосферы для практических целей воздухоплавания и др. рекомендуем читателю обратиться к международным метеорологическим таблицам.