Связь функции тока с потенциалом скорости

При суще­ствовании в плоском движении потенциала скорости φ будут иметь место равенства

Сравнивая которые с (2.2), устанавливаем

или иначе:

Последнее соотношение показывает, что каждая кривая семейства φ=const, пересекается под прямым углом с любой кривой семейства линий ψ = const, иначе говоря, линии тока являются ортогональными траекториями семейства изопотенциальных линий. Всякая определен­ная форма плоского движения жидкости интерпретируется определенной картиной распределения кривых φ = const, и ψ = const в плоскости. В силу взаимной ортогональности кривых этих семейств является безразличным с геометрической точки зрения, какие из них принять за линии тока, а какие за изопотенциальные кривые. На этом осно­вании функции φ и ψ называются сопряженными,и мы приходим к заключению, что если удастся найти решение некоторой определенной плоской гидродинамической задачи, т. е. если удастся подобрать потенциал скорости φ(а значит, н функцию тока ψ) так, чтобы поле скоростей удовлетворяло определенным пограничным условиям, то мы одновременно получаем решение другой плоской задачи, в которой — ψ будет служить потенциалом, а φ— функцией тока.

Комплексная скорость и комплексный потенциал

Усло­вия (3.2), выражающие связь между сопряженными функциями φ и ψ, суть не что иное, как известные условия Коши — Римана, выражающие то обстоятельство, что комплексное выражение ω=φ+ψi является аналитическойфункцией комплексного аргумента z=x+yi.

ω=f(z); φ+ψi=f(x+yi),

т. e. что функция f(z) будет иметь определенную производную

Последняя формула показывает, что производная dω/dzтесно связана со скоростью

.

Если рассматривать вещественную единицу +1 и мнимую еди­ницу i как единичные векторы (орты), отложенные по осямОхиОу,то комплексное число может быть изображено вектором скорости, отложенным от начала координат (рис. 4.1); сопря­женное же число изобразится вектором v.

Вектор скорости, отложенный от начала координат

Который служит зеркальным отражением вектора скорости по отношению к вещественной осиОх. На этом основании комплексное число dw/dzносит название комплексной скорости; модуль комплексной скорости дает величину скорости:

Функция ω=φ+ψi носит название комплексного потенциала.

Заметим, что если в (4.1) рассматривать zкак обратную функцию комплексного потенциала ω:

z=F(ω); x+yi=F(φ+ψi)

то производная этой функции dz/dωизобразит вектор, одинаковонаправленный со скоростью 𝜐 и имеющий длину 1/ в самом деле:

Подъёмная сила

В отличие от жидкостей, газы могут сильно изменять свой объем. Расчеты показывают, что сжимаемостью газов можно пренебречь, если наибольшие скорости в потоке малы по сравнению со скоростью звука в этом газе. Таким образом, уравнение Бернулли можно применять к достаточно широкому классу задач аэродинамики.

Одной из таких задач является изучение сил, действующих на крыло самолета. Строгое теоретическое решение этой задачи чрезвычайно сложно, и обычно для исследования сил применяются экспериментальные методы. Уравнение Бернулли позволяет дать лишь качественное объяснение возникновению подъемной силы крыла. На рис.  5.1 изображены линии тока воздуха при обтекании крыла самолета. Из-за специального профиля крыла и наличия угла атаки, т. е. угла наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха, скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом. Поэтому на рис. 5.1 линии тока над крылом располагаются ближе друг к другу, чем под крылом. Из уравнения Бернулли следует, что давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней; в результате появляется сила , действующая на крыло. Вертикальная составляющая этой силы называется подъемной силой. Подъемная сила позволяет скомпенсировать силу тяжести, действующую на самолет, и тем самым она обеспечивает возможность полета тяжелых летательных аппаратов в воздухе. Горизонтальная составляющая представляет собой силу сопротивления среды.

Линии тока при обтекании крыла самолета и возникновение подъемной силы, α – угол атаки

Теория подъемной силы крыла самолета была создана Н. Е. Жуковским. Он показал, что при обтекании крыла существенную роль играют силы вязкого трения в поверхностном слое. В результате их действия возникает круговое движение (циркуляция) воздуха вокруг крыла (зеленые стрелки на рис. 5.1). В верхней части крыла скорость циркулирующего воздуха складывается со скоростью набегающего потока, в нижней части эти скорости направлены в противоположные стороны. Это и приводит к возникновению разности давлений и появлению подъемной силы.

Циркуляция воздуха, обусловленная силами вязкого трения, возникает и вокруг вращающегося тела (например, цилиндра). При вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха, вызывая его циркуляцию. Если такой цилиндр установить в набегающем потоке воздуха, то возникнет сила бокового давления, аналогичная подъемной силе крыла самолета. Это явление называется эффектом Магнуса. Рис. 5.2 иллюстрирует обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком. Эффект Магнуса проявляется, например, при полете закрученного мяча при игре в теннис или футбол.

Обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком воздуха

Итак, во многих явлениях аэродинамики существенную роль играют силы вязкого трения. Они приводят к возникновению циркулирующих потоков воздуха вокруг крыла самолета или вокруг вращающегося тела, к появлению силы сопротивления среды и т. д. Уравнение Бернулли не учитывает сил трения. Его вывод основан на законе сохранения механической энергии при течении жидкости или газа. Поэтому с помощью уравнения Бернулли нельзя дать исчерпывающего объяснения явлений, в которых проявляются силы трения. В этих случаях можно руководствоваться только качественными соображениями – чем больше скорость, тем меньше давление в потоке газа.

Особенно заметно проявляются силы вязкого трения при течении жидкостей. У некоторых жидкостей вязкость настолько велика, что применение уравнение Бернулли может привести к качественно неверным результатам. Например, при истечении вязкой жидкости через отверстие в стенке сосуда ее скорость может быть в десятки раз меньше рассчитанной по формуле Торричелли. При движении сферического тела в идеальной жидкости оно не должно испытывать лобового сопротивления. Если же такое тело движется в вязкой жидкости, то возникает сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости υ и радиусу сферы r (закон Стокса)

Коэффициент пропорциональности в этой формуле зависит от свойств жидкости.

Поэтому, если тяжелый шарик бросить в высокий сосуд, наполненный вязкой жидкостью (например, глицерином), то через некоторое время скорость шарика достигнет установившегося значения, которое не будет изменяться при дальнейшем движении шарика. При движении с установившейся скоростью силы, действующие на шарик (сила тяжести выталкивающая сила и сила сопротивления среды ), оказываются скомпенсированными, и их равнодействующая равна нулю.