Тема № 5

5

Плоское (двумерное) движение идеальной жидкости

Уравнение количества движения в форме Громеки – Ламба. Вихревое и безвихревое тече-ния. Соотношения Коши - Римана. Уравнение Бернулли и интеграл Коши -Лагранжа. Началь-ные и граничные условия уравнений идеальной жидкости. Функция тока, потенциал скорости и их свойства. Комплексный потенциал и ком-плексная скорость. Однородный поток, сток (ис-ток), вихрь и диполь на плоскости. Применение теории функций комплексного переменного к расчету потоков. Обтекание цилиндра устано-вившимся потоком идеальной жидкости на плоскости. Теорема Жуковского о подъемной силе. Вихри в идеальной жидкости.

Уравнение количества движения в форме Громеки – Ламба.

Отсюда:       - система уравнений движения для и.ж. в форме Громека Рассмотрим далее движение, предполагая, что массовая сила имеет потенциал и течение баротропное. Первое предположение утверждает, что у массовых сил имеется потенциал, связанный соотношениями с массовыми силами:   ;  ;  ,   U - потенциал массовых сил. Второе: баротропным считается течение, у которого ρ считается только функцией давления. Например, баротропными течением является: 1)                ρ=const – газ или жидкость несжимаемы 2)                движение среды изотермическое -  3)                движение среды адиабатное -  Условие баротропности предполагает, что существует некоторая функция Р, зависящая от давления, которая определяется выражением:     Функция Р связана с р и ρ соотношениями:   ;  ;  .   Подставим в систему уравнений Громека потенциал массовых сил и функцию Р:        - система уравнений Эйлера в форме Громека Достоинство системы заключается в том, что отдельно выделен ротор, который при определенных условиях может быть равен нулю и система значительно упрощается. Последний член равен нулю, если: 1)   - статическая задача; 2)   - течение безвихревое или потенциальное. Сумма, стоящая во второй компоненте, имеет определенный физический смысл. В векторной форме система может быть записана в виде одного уравнения: Вихревое и безвихревое течения. Вихревое течение — течение жидкости или газа, в поле которого вихрь скорости (ω) = rotV отличен от нуля. В таком течении частицы жидкости (газа) помимо поступательного движения и деформации совершают вращательное движение с мгновенной угловой скоростью (ω)/2. При исследовании В. т. наряду с полем скорости V рассматривается векторное поле завихренности (ω). Для более наглядного представления о вращении частиц жидкости вводится понятие вихревой линии (поверхности) как такой линии (поверхности), в каждой точке которой вектор сонаправлен по касательной к ней. Вихревую линию можно трактовать как криволинейную ось вращения расположенных на ней частиц жидкости. Часть жидкости, ограниченная вихревой поверхностью, проходящей через замкнутый контур, называется вихревой трубкой; её интенсивность определяется как поток вектора (ω) через поперечное сечение о вихревой трубки. В предельном случае ((δ→)0, (ω→∞), a lim (σω) = Γ = const) приходим к понятию вихревой нити интенсивности Γ. Поле завихренности всегда является соленоидальным (div(ω) = 0), поэтому вихревые линии (трубки) не могут начинаться или оканчиваться внутри жидкости. Важной .характеристикой поля течения является циркуляция скорости по замкнутому контуру, которая, согласно теореме Дж. Стокса, равна потоку вектора (ω) через поверхность, опирающуюся на этот контур. Циркуляция скорости по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, не меняется со временем, если среда баротропна и массовые силы имеют потенциал (теорема У. Томсона (Кельвина), 1869). В частности, отсюда следует, что если в некоторый момент времени течение является безвихревым течением (Γ = 0 по любому контуру), то оно и в последующем в этом объёме будет оставаться безвихревым. Вихревые линии (поверхности) обладают свойством сохраняемости, то есть в любой момент времени они состоят из одних и тех же частиц жидкости; интенсивность вихревой трубки постоянна по её длине и не меняется во времени (Г. Гельмгольц, 1858).  Поле завихренности по известному полю скоростей определяется путём дифференцирования ((ω) = rotV).  В общем случае, когда завихренность непрерывно распределена по всему объёму, занятому движущейся жидкостью, для исследования В. т. используются Эйлера уравнения, из которых получаются уравнения, описывающие изменение со для фиксированной частицы жидкости. Для несжимаемой жидкости при наличии потенциала массовых сил получается уравнение (Гельмгольц, 1858);  d(ω)/dt = (ω▼)V, то есть скорость изменения ω определяется быстротой изменения вектора V по направлению (ω) и связана с деформацией вихревых линий. Отсюда следует, что в плоскопараллельном течении вектор (ω), перпендикулярный плоскости течения, сохраняется постоянным для каждой частицы жидкости. В отличие от безвихревого течения функция тока (ψ) описывается при этом нелинейным уравнением  (▼)2(ψ) = -(ω)(ψ);  где функция (ω)(ψ) находится из граничных условий. Упомянутые выше свойства сохранения справедливы и для В. т. идеального сжимаемого газа, если он баротропен (плотность зависит только от давления). Из теоремы Томсона следует, что в рассматриваемых течениях идеальной жидкости (газа) завихренность возникать не может, а только переносится вместе с жидкостью. Образование завихренности обычно связано с действием сил трения на границе обтекаемого тела, к которой жидкость прилипает. В сверхзвуковых течениях газа криволинейные скачки уплотнения также приводят к образованию завихренности.

Безвихревое течение — течение жидкости или газа, в котором отсутствует завихренность поля скоростей, т. е. вектор скорости V всюду в потоке удовлетворяет условию rotV = 0 и поэтому равен градиенту скалярной функции (φ), называемой потенциалом скорости (V = grad(φ)). Представляет собой частный вид более общего вихревого течения. В Б. т. частицы жидкости не вращаются. Существование и распространённость Б. т. тесно связаны со свойством сохраняемости завихренности в потоке идеальной несжимаемой или баротропной (плотность зависит только от давления) жидкости при наличии потенциала массовых сил, согласно которому, если в начальном участке потока (или в начальный момент времена) имеется Б. т., то оно всюду (и впоследствии) останется безвихревым, и циркуляция скорости по любому замкнутому контуру будет равна нулю. В идеальном газе завихренность (циркуляция) сохраняется для изоэнтропических течений (баротропных течений).  Кинематическое свойство безвихренности течения идеального газа связано с его термодинамическими параметрами так называем теоремой Л. Крокко, из которой следует, что при постоянных во всём течении энтропии и полной энтальпии оно является либо безвихревым, либо винтовым (вектор завихренности параллелен вектору скорости). Плоскопараллельное течение такого типа всегда будет безвихревым.  Изучение Б. т. существенно упрощается тем, что система уравнений аэро- и гидродинамики сводится к одному уравнению для потенциала скорости (φ). В несжимаемой жидкости потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа, которое имеет в качестве фундаментальных решений потенциалы источника, диполя и гидродинамических особенностей более высокого порядка (см. Источники и стоки гидродинамические), причём в силу линейности любая их суперпозиций также является решением. Для важного случая плоского Б. т. несжимаемой жидкости существует комплексный потенциал — аналитическая функция комплексного переменного, действительная и мнимая части которой являются соответственно потенциалом скорости и функцией тока. Задачи об обтекании профилей и решёток профилей и определении действующих на них сил, о глиссировании, истечении струй, ударе о жидкость и другие были решены благодаря возможности применения методов теории функций комплексного переменного, например метода конформных преобразований.  Изучение Б. т. сжимаемого газа — более трудная задача; так как уравнение для потенциала нелинейно. Для плоских течений оно может быть приведено к линейному путём преобразования годографа, часто используемого в задачах дозвуковой аэродинамики (струйные течения, определение аэродинамических характеристик профилей и др.).  При обтекании тонких тел упрощение уравнения потенциала проводится на основе возмущений теории. Дозвуковые и сверхзвуковаые возмущённые течения описываются линейными уравнениями, трансзвуковые — нелинейными. Б. т., проходя через искривленный скачок уплотнения, становится вихревым. Однако для достаточно слабого скачка завихренность пропорциональна кубу его интенсивности, и с большой точностью можно считать, что течение остаётся безвихревым. Поток за скачком конечной интенсивности остаётся безвихревым, если угол наклона скачка к направлению однородного набегающего потока всюду одинаков (например, при осесимметричном сверхзвуковом обтекании конуса).  Одним из наиболее распространённых методов расчёта сверхзвукового Б. т. является характеристик метод, особенно эффективный в приложении к плоским течениям, где характеристики в плоскости годографа (эпициклоиды) имеют универсальный вид независимо от структуры течения в физической плоскости.

Соотношения Коши - Римана.

Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную   и мнимую   части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного  .

Для того чтобы функция  , определённая в некоторой области   комплексной плоскости, была дифференцируема в точке   как функция комплексного переменного  , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части   и   были дифференцируемы в точке   как функции вещественных переменных   и   и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

Компактная запись:

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная   представима в любой из следующих форм:

По условию теоремы существует предел

,

не зависящий от способа стремления   к нулю. Положим   и рассмотрим выражение

.

Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке   существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

Полагая  , находим

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

По определению дифференцируемости, приращения функций   и   в окрестности точки   могут быть записаны в виде

,

,

где функции   и   стремятся к нулю при  ,   быстрее, чем   и    ,  ,  . Составим теперь разностное соотношение  , где   и преобразуем его к виду

.

Заметим, что при стремлении   к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел  , что и доказывает дифференцируемость функции   в точке  .

В полярной системе координат   условия Коши-Римана выглядят так:

Компактная запись:

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функции

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

Тогда условия Коши-Римана связывают модуль   и аргумент   функции следующим образом:

Геометрический смысл условий Коши-Римана

Пусть функция   дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости   два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство: 

Второе семейство: 

Тогда условия Коши-Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши-Римана

Если рассматривать множество комплексных чисел   как векторное пространство над  , то значение производной функции   в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства   в себя ( -линейность). Если же рассматривать  как одномерное векторное пространство над  , то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства   в себя ( -линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число  . Очевидно, всякое  -линейное отображение  -линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство)   изоморфмно полю вещественных матриц вида   с обычными матричными операциями, условия Коши-Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения  в точке   (точнее, отображения   в точке  ), являются условиями  -линейности  , т.е.  .

Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его описания используются различные упрощающие предположения (модели). В простейшей модели жидкость (или даже газ) предполагается несжимаемыми и идеальными (т. е. без внутреннего трения между движущимися слоями). При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии. Следствием этого закона для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости является уравнение Бернулли, сформулированное в 1738 г. Стационарным принято называть такой поток жидкости, в котором не образуются вихри. В стационарном потоке частицы жидкости перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называются линиями тока. Опыт показывает, что стационарные потоки возникают только при достаточно малых скоростях движения жидкости.

Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения (рис. 1.1). Различные части трубы могут находиться на разных высотах.

Течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения.

ΔV₁ = l₁S₁; ΔV₂ = l₂S₂. Условие несжимаемости: ΔV₁ = ΔV₂ = ΔV

За промежуток времени Δt жидкость в трубе сечением S₁ переместится на

, а в трубе сечением S₂ – на l₂ = υ₂Δt, где υ₁ и υ₂ – скорости частиц жидкости в трубах. Условие несжимаемости записывается в виде:

или

Здесь ΔV – объем жидкости, протекшей через сечения S₁ и S₂.

Таким образом, при переходе жидкости с участка трубы с большим сечением на участок с меньшим сечением скорость течения возрастает, т. е. жидкость движется с ускорением. Следовательно, на жидкость действует сила. В горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений в широком и узком участках трубы. Давление в широком участке трубы должно быть больше чем в узком участке. Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным действием силы тяжести и силы давления. Сила давления – это упругая сила сжатия жидкости. Несжимаемость жидкости означает лишь то, что появление упругих сил происходит при пренебрежимо малом изменении объема любой части жидкости.

Так как жидкость предполагается идеальной, то она течет по трубе без трения. Поэтому к ее течению можно применить закон сохранения механической энергии.

При перемещении жидкости силы давления совершают работу:

Работа ΔA сил давления равна изменению потенциальной энергии упругой деформации жидкости, взятому с обратным знаком.

Изменения, произошедшие за время Δt в выделенной части жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂ в начальный момент времени, при стационарном течении сводятся к перемещению массы жидкости (ρ – плотность жидкости) из одной части трубы сечением S₁ в другую часть сечением S₂ (заштрихованные объемы на рис. 1.1). Закон сохранения механической энергии для этой массы имеет вид:

где E₁ и E₂ – полные механические энергии массы Δm в поле тяготения:

Отсюда следует:

Это и есть уравнение Бернулли. Из него следует, что сумма остается неизменной вдоль всей трубы.

В частности, для горизонтально расположенной трубы (h₁ = h₂) уравнение Бернулли принимает вид:

Величина p – статическое давление в жидкости. Оно может быть измерено с помощью манометра, перемещающегося вместе с жидкостью. Практически давление в разных сечениях трубы измеряется с помощью манометрических трубок, вставленных через боковые стенки в поток жидкости, так чтобы нижние концы трубок были параллельны скоростям частиц жидкости (рис. 1.2). Из уравнения Бернулли следует:

Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость больше.

Измерение давления в потоке жидкости с помощью манометров.

υ₁ < υ₂ < υ₃; h₁ > h₂ > h₃

Модель. Течение идеальной жидкости

Если сечение потока жидкости достаточно велико, то уравнение Бернулли следует применять к линиям тока, т. е. линиям, вдоль которых перемещаются частицы жидкости при стационарном течении. Например, при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в боковой стенке или дне широкого сосуда линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие (рис. 1.4).

Истечение жидкости из широкого сосуда

Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли принимает вид:

где p₀ – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока.

Таким образом,

Это выражение для скорости истечения называют формулой Торричелли.

Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении тела с высоты h без начальной скорости.