Тема № 4

Наименование раздела		Содержание раздела
Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной форме (частные случаи). Одномерные потоки жидкостей и газов	Роль одномерного анализа при решении технических задач. Основные уравнения. Скорость звука. Различные формы уравнения энергии. Изоэнтропийное течение. Параметры торможения и критические параметры. Газодинамические функции и газодинамические таблицы. Критический расход. Суживающее сопло и сопло Лаваля. Режимы течения и изменение параметров потока по длине сопла Лаваля. Переменный режим работы суживающегося сопла. Одномерные течения при различных воздействиях на поток. Установившееся течение сжимаемой вязкой жидкости в теплоизолированной трубе постоянного сечения. Критическая длина трубы. Распределение скоростей и давлений вдоль трубы. Течение идеальной сжимаемой жидкости в канале с постоянной площадью поперечного сечения и прямым скачком уплотнения. Расчет параметров течения в сопле Лаваля со скачком уплотнения.

Плоское (двумерное) движение идеальной жидкости

Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его описания используются различные упрощающие предположения (модели). В простейшей модели жидкость (или даже газ) предполагается несжимаемыми и идеальными (т. е. без внутреннего трения между движущимися слоями). При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии. Следствием этого закона для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости является уравнение Бернулли, сформулированное в 1738 г. Стационарным принято называть такой поток жидкости, в котором не образуются вихри. В стационарном потоке частицы жидкости перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называются линиями тока. Опыт показывает, что стационарные потоки возникают только при достаточно малых скоростях движения жидкости.

Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения (рис. 1.1). Различные части трубы могут находиться на разных высотах.

Течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения.

ΔV₁ = l₁S₁; ΔV₂ = l₂S₂. Условие несжимаемости: ΔV₁ = ΔV₂ = ΔV

За промежуток времени Δt жидкость в трубе сечением S₁ переместится на

, а в трубе сечением S₂ – на l₂ = υ₂Δt, где υ₁ и υ₂ – скорости частиц жидкости в трубах. Условие несжимаемости записывается в виде:

или

Здесь ΔV – объем жидкости, протекшей через сечения S₁ и S₂.

Таким образом, при переходе жидкости с участка трубы с большим сечением на участок с меньшим сечением скорость течения возрастает, т. е. жидкость движется с ускорением. Следовательно, на жидкость действует сила. В горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений в широком и узком участках трубы. Давление в широком участке трубы должно быть больше чем в узком участке. Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным действием силы тяжести и силы давления. Сила давления – это упругая сила сжатия жидкости. Несжимаемость жидкости означает лишь то, что появление упругих сил происходит при пренебрежимо малом изменении объема любой части жидкости.

Так как жидкость предполагается идеальной, то она течет по трубе без трения. Поэтому к ее течению можно применить закон сохранения механической энергии.

При перемещении жидкости силы давления совершают работу:

Работа ΔA сил давления равна изменению потенциальной энергии упругой деформации жидкости, взятому с обратным знаком.

Изменения, произошедшие за время Δt в выделенной части жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂ в начальный момент времени, при стационарном течении сводятся к перемещению массы жидкости (ρ – плотность жидкости) из одной части трубы сечением S₁ в другую часть сечением S₂ (заштрихованные объемы на рис. 1.1). Закон сохранения механической энергии для этой массы имеет вид:

где E₁ и E₂ – полные механические энергии массы Δm в поле тяготения:

Отсюда следует:

Это и есть уравнение Бернулли. Из него следует, что сумма остается неизменной вдоль всей трубы.

В частности, для горизонтально расположенной трубы (h₁ = h₂) уравнение Бернулли принимает вид:

Величина p – статическое давление в жидкости. Оно может быть измерено с помощью манометра, перемещающегося вместе с жидкостью. Практически давление в разных сечениях трубы измеряется с помощью манометрических трубок, вставленных через боковые стенки в поток жидкости, так чтобы нижние концы трубок были параллельны скоростям частиц жидкости (рис. 1.2). Из уравнения Бернулли следует:

Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость больше.

Измерение давления в потоке жидкости с помощью манометров.

υ₁ < υ₂ < υ₃; h₁ > h₂ > h₃

Модель. Течение идеальной жидкости

Если сечение потока жидкости достаточно велико, то уравнение Бернулли следует применять к линиям тока, т. е. линиям, вдоль которых перемещаются частицы жидкости при стационарном течении. Например, при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в боковой стенке или дне широкого сосуда линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие (рис. 1.4).

Истечение жидкости из широкого сосуда

Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли принимает вид:

где p₀ – атмосферное давление, h – перепад высоты вдоль линии тока.

Таким образом,

Это выражение для скорости истечения называют формулой Торричелли.

Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении тела с высоты h без начальной скорости.

Функция тока

Не делая пока предположения об отсутствии вихрей в жидкости, можно показать, что уже одно уравнение нераз­рывности налагает на поле скоростей условие, поддающееся и плоском движений простому кинематическому истолкованию. В самом деле, ура­внение неразрывности даст для несжимаемой жидкости

или иначе .

Если взять дифференциальное уравнение линий тока

или

то уравнение неразрывности (2.1) показывает, что левая часть по­следнего уравнения представляет собой полный дифференциал неко­торой функции ψ

так что

Функция ψ(x,y) носит название функции тока,так как на каждой линии тока она сохраняет свое постоянное значение ψ(x,y)=С, различное вообще для различных линий тока.

Если между двумя точками A(x_1,у1) и B{x₂, у₂) провести неко­торую кривую (рис. 2.1), то нетрудно усмотреть, что поток жидкости через эту кривую выразится разностью значений функций тока в точках AиВ,независимо от формы кривой.

Поток жидкости через кривую