Методичні настанови

1. Для аналізу електричних кіл використовують і метод основних рівнянь кола, метод струмів і напруг (метод рівнянь законів Кірхгофа), метод контурних струмів і метод вузлових напруг. Вибір певного методу залежить від складності електричного кола (його конфігурації) та наявності відповідного комп’ютерного забезпечення.

Конфігурація електричного кола характеризується кількістю незалежних вузлів , кількістю віток , кількістю незалежних контурів . Тому при виборі методу аналізу необхідно попередньо визначити ці параметри, за якими й вибирають метод аналізу електричних кіл. Відомо, що за методом струмів і напруг необхідно записати рівнянь, за методом контурних струмів – рівнянь, за методом вузлових напруг – рівнянь. Отже, рекомендується при аналізі схем електричних кіл використовувати: при – метод контурних струмів, а при – метод вузлових напруг. Необхідно підкреслити, що в більшості випадків здійснюють аналіз електричного кола з одним джерелом енергії. В цьому випадку його аналіз здійснюється методом перетворення, який базується на еквівалентному перетворенні послідовно та паралельно сполучених двополюсників. Якщо пасивні двополюсники сполучені зіркою чи трикутником (рис.1), то використовують вирази для їх взаємного перетворення

а б

Рис. 1.1 Три резистори сполучені трикутником(а) та зіркою (б)

– із зірки в трикутник:

, (1.1)

, (1.2)

, (1.3)

– із трикутника в зірку:

, (1.4)

, (1.5)

. (1.6)

2. Як відомо, згідно закону Ома, в замкненому нерозгалуженому електричному колі (рис. 1.2)

Рис. 1.2. Нерозгалужене електричне коло

. (1.7)

Згідно з рівняння (1.7) маємо схему джерела й споживачів електроенергії, подану на рис.1.2. Тут електричні напруги та спрямовані у бік вищого потенціалу , як і ЕРС Е. У цій однозначності – одна з переваг такого спрямування напруг . В електричному колі з однією ЕРС умовно-додатній напрям струму вітки з ЕРС треба обирати за напрямом ЕРС. Спад напруги на опорах навантаження і на внутрішньому опорі джерела (за методом проф. С. Фрізе) позначається однією стрілкою, скерованою до точки вищого потенціалу. Ця стрілка завжди буде спрямована проти умовно додатнього напряму струму, як на рис.1.2. Якщо напруга на опорі скерована за напрямом струму, або струм скерований проти ЕРС, то формула (1.7) набере вигляд:

. (1.8)

Перший закон випливає з принципу неперервності електричного струму – виразу:

(1.9)

і є його наслідком для замкненої поверхні S , що охоплює простір – вузол електричного кола, в якому збігаються струми провідності віток (рис.1.3).

Рис 1.3. В замкненій поверхні збігаються струми поверхності віток

Припускають, що електромагнітні процеси відбуваються при незначних швидкостях, за яких струмами зміщення у замкненій поверхні можна нехтувати. Відповідно до принципу неперервності електричного струму чи у узагальнюючи

. (1.10)

Рис. 1.4. Спрямування струмів у вузлі схеми

Відповідно до цього закону, алгебрична сума миттєвих значень струмів, які підходять до вузла електричного кола, дорівнює нулеві. Для запису рівняння за першим законом Кірхгофа необхідно спочатку позначити стрілками умовно додатні напрями струмів у вітках схеми (рис.1.4), прийняти напрям струму відносно вузла ( > 0 – якщо додатній напрям струму направлений до вузла, та < 0 – якщо від вузла, чи навпаки). Цей закон для вузла рис. 1.4. запишеться так

. (1.11)

Для будь-якого електричного кола за першим законом Кірхгофа можна скласти ( ) лінійно незалежних рівнянь (на одиницю менше ніж вузлів).

Другий закон Кірхгофа – алгебрична сума напруг та електрорушийних сил в замкеному контурі дорівнює нулеві (рис.1.5) :

Рис.1.5. Замкнений контур електричного кола.

. (1.12)

Кількість лінійно незалежних рівнянь, які можна скласти для електричної схеми згідно формули (1.12) дорівнює кількості лінійно незалежних контурів . У новий контур єдиної схеми повинно входити хоча би одна нова вітка, яка ще не увійшла до складу попередніх контурів. Але критерієм визначення є формула (1.13)

. (1.13)

Для запису другого закону Кірхгофа за (рис.1.5) необхідно позначити умовно – додатні напрями струмів у вітках і за фомулою (1.12) – умовно-додатні напрями спадів напруг на всіх елементах замкненого контуру. Крім того, треба вибрати додатний напрям обходу контуру. Якщо напрям збігається з напрямом обходу контуру – беремо їх із знаком плюс “+”, а якщо їх напрям не збігається – є протилежним – зі знаком мінус “ – ”. На рис.1.6 зображений замкнений контур електричної схеми зі скеруванням

Рис.1.6. Замкнений контур електричної схеми зі скеруванням E, U, I.

Запишемо для цього контуру другий закон Кірхгофа за формулою (1.12):

, (1.14)

або

. (1.15)

Метод контурних струмів для розрахунку електричних кіл з постійними параметрами зводиться до розв’язання системи тільки з “n” рівнянь. В цьому методі вводяться нові невідомі, т.з. контурні струми. Кількість їх дорівнює кількості лінійно незалежних контурів схеми (n).

Рис. 1.7. Схема до методу контурних струмів

Послідовність проведення розрахунку така:

1. для заданої електричної схеми (рис.1.7) визначаємо : ;

2. вибираємо додатні напрями контурних струмів і записуємо для них систему з “n” рівнянь:

(1.16)

де – сума всіх ЕРС, які входять в перший та другий контури.

Визначаючи цю суму. ЕРС, напрям яких збігається з напрямом обходу контурного струмів, треба брати зі знаком “плюс”, а ті, що не збігаються – зі знаком “мінус”. Для рис.1.7.

– сума всіх опорів, які входять в даний контур, для якого складаємо рівняння, їх називають власними опорами контуру.

– сума всіх опорів у спільній вітці двох контурів, його називають взаємним опором ( ). Знак при власному опорі завжди додатній (плюс). Знак при взаємному опорі, якщо контурні струми протікають по цих опорах в одному напрямку – плюс. Якщо контурні струми протікають по спільних опорах в різному напрямку – мінус.

Систему рівнянь 1.16 можна записати 1.17:

(1.17)

3) розв’язуємо цю систему рівнянь і знаходимо числові значення контурних струмів ;

4) позначаємо умовно додатні напрямки струмів у вітках схеми та знаходимо їх як алгебричну суму контурних струмів, що протікають через одну вітку (1.18):

(1.18)

5) перевіряємо правильність розв’язання задачі за другим законом Кірхгофа для контурів схеми (рис.1.7):

(1.19)

Метод вузлових напруг для розрахунку електричних кіл з постійними параметрами зводиться до розв’язання системи тільки для ( ) рівнянь. В цьому методі вводяться нові невідомі, т.з. вузлові напруги.

Послідовність проведення розрахунку:

Рис.1.8. Схема до методу вузлових напруг

1. для заданої електричної схеми (рис.1.8) визначаємо ;

2. приймаємо потенціал вузла “в” рівним нулю, тобто , тоді невідомими будуть потенціали , інших двох вузлів враховуючи

(1.20)

Замість потенціалів вузлів, будемо користуватись вузловими напругами ;

3. у загальному випадку система рівнянь, складених за методом вузлових напруг за умови, що базовий вузол має нульовий номер ( ), можна записати у вигляді:

, (1.21)

де діагональні елементи – арифметична сума провідностей віток, приєднаних до вузлів а, б:

(1.22)

, (1.23)

– арифметична сума провідностей віток, які з’єднують вузли а та б. Цей коефіцієнт завжди від’ємний:

. (1.24)

Права частина , кожного J-го рівняння – це алгебрична сума струмів короткого замикання під’єнаних до J-го вузла віток. Для визначення останніх необхідно умовно закорочувати кожну вітку і обчислювати струм короткого замикання за формулою :

(1.25)

(1.26)

Добуток береться зі знаком “плюс”, якщо ЕРС спрямована до вузла, і “мінус” – у протилежному напрямку.

4. розв’язавши систему рівнянь (1.21) визначаємо вузлові напруги ;

5. за визначиними вузловими напругами, застосовуючи другий закон Кірхгофа, визначаємо струми віток, позначивши умовно-додатні напрямки струмів віток (рис.1.8).

Властивістю електричного кола є рівновага електричної енергії між джерелами енергії та їх споживачами, що означає: швидкість виробленої енергії завжди дорівнює швидкості її перетворення (споживання). Відомо, що швидкість зміни електричної енергії характеризується потужністю елемента. Тому стан електричної рівноваги описується рівнянням балансу потужностей (1.27)

(1.27)

Джерела напруги можуть працювати в режимі генератора (віддають енергію) чи двигуна (споживають енергію). Тому при визначенні потужності джерел енергії необхідно знати умовно додатне спрямування ЕРС чи напруги, джерела струму та струмів, що протікають через них.

Якщо напрями струмів і ЕРС співпадають, то (режим генератора), якщо напрями струмів і ЕРС не співпадають, то (режим двигуна).

Для вимірювання електричних величин (струму, напруги) у електричних колах постійного струму використовуються в основному прилади магнітоелектричної, електромагнітної та електродинамічної системи. Якщо використовуються електровимірювальні прилади магнітоелектричної системи, які вимірюють тільки постійну складову (тобто тільки постійний струм), то потрібно враховувати полярність величини, що вимірюється. Тому в таких приладах одна із клем позначається “+” і стрілка буде відхилятись тоді, коли до цієї клеми під’єднується точка відповідного потенціалу. Якщо використовуються прилади електромагнітної чи електродинамічної систем, які вимірюють діюче значення величини, що властиво як для постійного так і змінного струмів, то полярність при їх під’єднанні не враховується.

Для вимірювання потужності використовуються ватметри електроди­намічної системи, які вимірюють величину:

. Ці прилади мають дві обмотки: послідовну (струмову), яка є нерухомою, та паралельну (напругову), яка є рухомою.

При ввімкнені приладу, виникає обертовий момент, який пропорційний добуткові струмів у обидвох обмотках: .

В електричних колах постійного струму , тому . Для однозначного виміру потужності необхідною умовою є однакове протікання струмів у обидвох обмотках приладу, що досягається відповідним позначенням ″*″ початку з вимірних обмоток. Такі клеми називають генераторними. Тому додатні відхилення стрілки буде тільки в випадку правильного ввімкнення приладу (рис. 1.9).

Рис.1.9. Ввімкнення ватметру

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКУ ЗАВДАННЯ

Методику розрахунку електричного кола постійного струму продемонструємо на прикладі. Розглянемо електричне коло, зображеного на рисунку 1.10.

Рис. 1.10. Приклад електричної схеми.

Розв’язування

1. Перед розрахунком електричного кола його необхідно розмітити, тобто задатися напрямами всіх струмів і напруг, пронумерувати вузли електричного кола, так як це зроблено на рис. 1.10. Потім необхідно нарисувати розрахункову схему, замінивши прилади їх внутрішніми опорами. Нагадаємо, що внутрішні опори амперметрів і струмових кіл ватметрів за умовою дорівнюють нулю, а внутрішні опори вольтметрів і напругових кіл ватметрів дорівнюють безмежності. Тому амперметр і струмове коло ватметра заміняються провідниками, а вольтметр і напругове коло ватметра – розривом. У результаті отримуємо таку розрахункову схему (рис.1.11):

Рис. 1.11. Розрахункова схема.

Кількість вузлів – , кількість віток .

Параметри елементів кола:

2. Скласти за законами Кірхгофа систему рівнянь для розрахунку струмів в усіх вітках електричної схеми – (рис. 1.12)

Рис.1.12 Розрахункова схема до методу законів Кірхгофа

I закон Кірхгофа: – незалежних рівнянь;

для вузла 1: .

II закон Кірхгофа: - незалежних контурів.

Довільно задаємось обходом контурів і записуємо рівняння

а) для першого контура:

б) для другого контура:

3. Визначаємо струми в усіх вітках схеми методом контурних струмів (рис.1.13).

Рис.1.13. Розрахункова схема до методу контурних струмів

Для схеми (рис.1.13) .

Кількість рівнянь за методом контурних струмів:

.

Довільно задаємось обходом контурних струмів і записуємо рівняння.

,

підставляємо чисельні значення:

,

,

Значення контурних струмів:

Тоді струми віток:

4. Метод вузлових напруг (рис.1.14)

Рис. 1.14 Розрахункова схема до методу вузлових напруг

Для цієї схеми (рис.1.14)

вузлових напруг (ВН):

Рівняння вузлової напруги для електричної схеми рис. 1.14.

;

Підставляємо чисельні значення і визначаємо вузлову напругу

;

;

За визначеною вузловою напругою визначаємо струми віток за другим законом Кірхгофа:

;

5..Скласти баланс потужностей для заданої електричної схеми (рис.1.11)

Р_ДЖ Р_СП.

,

6. Покази електровимірювальних приладів електродинамічної системи (рис.1.11):

а) показ амперметра

б) показ вольтметра – визначаємо за другим законом Кірхгофа для контура (рис. 1.15).

Рис. 1.15 Контур для визначення напруги вольтметра

;

в) показ ватметра (рис.1.16)

Рис.1.16 Схема для визначення показу ватметра

де

Тоді

Знак мінус означає, що підключення ватметра – неправильне і необхідно поміняти генераторні клеми напруги або струм. Тоді показ ватметра буде додатним:

7. Визначення режимів роботи джерела.

Якщо напрямок струму вітки джерела співпадає з напрямком джерела ЕРС, то джерело виробляє енергію в мережу. Такий режим називають режимом ” генератора”. Якщо напрямок струму вітки джерела не співпадає з напрямком джерела ЕРС, то джерело споживає енергію з мережі. Такий режим називають режимом ”двигуна”. При складанні рівння балансу потужності, визначення режимів роботи джерел, необхідно враховувати вищенаведене. Для нашої схеми всі джерела працюють в режимі генерування енергії (рис. 1.17).

Рис.1.17. Визначення режимів роботи джерел

8. Методом перетворення обчислюємо струми у вітках схеми за наявності , у результаті отримуємо схему (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Зображення електричної схеми

Для зображеної схеми (рис.1.18)

Замінюємо послідовне сполучення опорів відповідно еквівалентними опорами і отримаємо схему рис. 1.19.

Рис.1.19. Зображення еквівалентної схеми

Опори з’єднані паралельно, замінюємо їх опором і отримаємо нову схему (рис.1.20).

Опір з’єднані послідовно, замінюємо їх і отримаємо схему (Рис.1.21).

Рис.1.20. Зображення еквівалентної схеми

Рис.1.21. Зображення еквівалентної схеми

Застосовуючи закон Ома, визначаємо струми віток.

9. Баланс потужностей .

10. Визначення режиму роботи джерела (рис.1.22).

Рис.1.22. Визначення режиму роботи джерела

Джерело працює в режимі ”генератора“ ( співпадає з напрям­ком  ).

2. РОЗРАХУНОК ЛІНІЙНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Задача 2.1. Електрорушійна сила джерела за законом з частотою f=50 Гц. Для лінійного електричного кола синусоїдного струму, схема якого наведена в табл. 2.1, а параметри елементів кола – в табл. 2.2, необхідно:

1. Нарисувати розрахункову схему цього електричного кола, прийнявши, що внутрішні опори амперметрів і струмових кіл ватметрів дорівнюють нулю, а внутрішні опори вольтметрів і напругових кіл ватметрів є безмежно великі.

2. Записати комплекс діючого значення електрорушійної сила джерела, а також комплексні опори віток кола.

3. Методом перетворень визначити комплекси діючих значень струмів у вітках електричного кола. Записати миттєве значення струму джерела ЕРС.

4. За результатами, одержаними у п. 3, визначити активний, реактивний і повний опори електричного кола, активну, реактивну і повну потужності джерела ЕРС, а також коефіцієнт потужності електричного кола.

5. Визначити покази амперметра, вольтметра і ватметра.

6. Побудувати для розрахункової схеми суміщені діаграму струмів і топографічну діаграму напруг (за вказівкою викладача).