Методичні настанови

Миттєве значення синусоїдної величини v(t) описується виразом

, (1)

де V_m – максимальне значення або амплітуда; – фаза, а – початкова фаза; Т – період; – кутова частота; – частота синусоїдної величини.

Миттєві значення величин позначаються відповідними малими буквами. Якщо дві синусоїдні величини неодночасно досягають своїх найбільших значень, то кажуть, що вони зсунуті за фазою. Зсув фаз  визначають як різницю початкових фаз, тобто =₁-₂. Якщо >0, то кажуть, що перша величина випереджає за фазою другу, а друга відстає за фазою від першої.

Для вимірювання періодичних величин використовується їх середньоквадратичне значення за період, яке в електротехніці називається діючим значенням. Діюче значення періодичної величини позначається відповідною великою буквою і для синусоїдної величини v(t) його визначають за формулою

, (2)

де V – діючe значення.

В

Рис. 2. Вектор, який відображає синусоїдну величину

ідомо, що синусоїдні величини можуть бути відображені векторами. Вектор, що відображає синусоїдну величину v(t), зображений на рис. 2. Довжина вектора V_m (V_m) у вибраному масштабі дорівнює амплітуді синусоїдної величини, а кут, утворений вектором з віссю абсцис, дорівнює початковій фазі синусоїдної величини. Сумі синусоїдних величин відповідає сума їх відображаючих векторів. Сукупність векторів, які відобра­жають синусоїдні процеси в електричному колі, називається векторною діаграмою.

Також синусоїдна величина може бути відображена комплексним числом і відповідним вектором на комплексній площині.

Нехай – уявна одиниця. У курсі ЗЕ використовують такі форми записання комплексного числа A:

алгебраїчна – A=A1+jA2 ; (3)

тригонометрична – A=A(cos+jsin); (4)

показникова – A=Aej, (5)

де A₁=Re[A] – дійсна частина комплексного числа; А₂=Im[A] – уявна частина комплексного числа; А – модуль комплексного числа;  – аргумент комплексного числа.

Для переходу від однієї форми записання комплексного числа до іншої використовують такі формули:

; (6)

(7)

A₁=Acos; (8)

A₂=Asin. (9)

Синусоїдна величина v(t) відображається комплексним числом

, (10)

де V_m – комплексна амплітуда синусоїдної величини v(t), або

, (11)

де V – комплекс діючого значення синусоїдної величини v(t).

Повним опором пасивного двополюсника Z у колі синусоїдного струму називається відношення діючих або амплітудних значень напруги та струму, тобто

, (12)

що є законом Ома.

Оскільки у колі синусоїдного струму можуть існувати як зворотні (наприклад, перетворення електромагнітної енергії в тепло), так і незворотні (коливання електромагнітної енергії) енергетичні процеси, то під час розрахунку кіл синусоїдного струму вводять поняття активного опору R пасивного двополюсника, який враховує незворотні енергетичні процеси у цьому двополюснику, і реактивного опору Х, який враховує зворотні енергетичні процеси у пасивному двополюснику. Прикладом активного опору може слугувати резистивний опір, а прикладом реактивних опорів можуть слугувати опори індуктивності і ємності у колі синусоїдного струму.

Відомо, що

R=Zcos; (13)

X=Zsin; (14)

; (15)

. (16)

Для пасивного двополюсника відношення комплексної амплітуди напруги до комплексної амплітуди струму або відношення їх комплексів діючих значень називається комплексним опором двополюсника і позначається буквою Z. Тобто

, (17)

де ( ) – комплексна амплітуда (комплекс діючого значення) напруги, а ( ) – комплексна амплітуда (комплекс діючого значення) струму пасивного двополюсника.

Модулем комплексного опору є повний опір, а аргументом комплекс­ного опору є кут зсуву фаз між напругою та струмом двополюсника. Дійсною частиною комплексного опору є активний опір, а уявною частиною комплексного опору є реактивний опір пасивного двополюсника, тобто

R=Re(Z) i X=Im(Z). (18)

Вираз (17) є законом Ома в комплексній формі.

Величина обернена до комплексного опору пасивного двополюсника називається комплексною провідністю і позначається буквою Y. Тобто

. (19)

Модулем комплексної провідності є повна провідність y, а аргументом комплексної провідності є кут зсуву фаз між напругою та струмом двополюсника з протилежним знаком. Дійсною частиною комплексної провідності є активна провідність Gо, а уявною частиною комплексної провідності є реактивна провідність В пасивного двополюсника, тобто

G=Re(Y ) i B=-Im(Y). (20)

Вираз (19) є законом Ома в комплексній формі.

Для математичного моделювання електромагнітних процесів у електрик­ному колі використовуються ідеальні елементи. Такими основними пасив­ними елементами є опір, індуктивність та ємність. Амплітудні та фазові співвідношення для основних пасивних ідеальних елементів та їх позначення зведені в табл. 2.3.

Таблиця 2.3.

Тип опору:	повний	активний	реактивний	комплексний	Зсув фази, рад
Електричний опір	Z=R	R		Z=R	0
Індуктивність	Z=XL=L		X=XL=L	Z=jXL=jL
Ємність	Z=XC=		X=-XC=-	Z=-jXC=-j	-

Враховуючи аналогію рівнянь, що описують кола постійного струму і рівнянь, які описують кола синусоїдного струму, всі методи розрахунку кіл постійного струму можна застосувати для розрахунку кіл синусоїдного струму. При цьому всі рівняння повинні бути записані в комплексній формі.

Наприклад, у разі послідовного сполучення опорів комплексний еквівалентний опір дорівнює сумі комплексних опорів окремих ділянок:

. (21)

У разі паралельного сполучення опорів еквівалентна комплексна провід­ність дорівнює сумі комплексних провідностей віток

. (22)

У колі синусоїдного струму середнє значення миттєвого значення потужності за період називається активною потужністю. Активну потужність позначають буквою Р і визначають за формулою

P=UIcos. (23)

Реактивна потужність Q дорівнює

Q=UIsin. (24)

Повну потужність S визначають за формулою

S=UI. (25)

Комплексна потужність

, (26)

де – спряжений комплекс струму.

У разі пасивного двополюсника

P=RI²=GU²; (27)

Q=XI²=BU²; (28)

S=ZI²=YU²; (29)

S=ZI². (30)

Для активної, реактивної та комплексної потужностей виконується баланс потужностей.

Для вимірювання активної потужності використовується ватметр, схема якого зображена на рис. 3.

Рис. 3. Схемотехнічне позначення ватметра

При таких напрямах напруги і струму ватметра, як на рис. 2, покази ватметра визначають за формулами

, (31)

де – зсув фаз між напругою u_w і струмом i_w, які вимірюють.